MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suplem2pr Unicode version

Theorem suplem2pr 9452
Description: The union of a set of positive reals (if a positive real) is its supremum (the least upper bound). Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
suplem2pr
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem suplem2pr
StepHypRef Expression
1 ltrelpr 9397 . . . . . 6
21brel 5053 . . . . 5
32simpld 459 . . . 4
4 ralnex 2903 . . . . . . . . 9
5 ssel2 3498 . . . . . . . . . . . 12
6 ltsopr 9431 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7 sotric 4831 . . . . . . . . . . . . . . . 16
86, 7mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . 15
98con2bid 329 . . . . . . . . . . . . . 14
109ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13
11 ltprord 9429 . . . . . . . . . . . . . . 15
1211orbi2d 701 . . . . . . . . . . . . . 14
13 sspss 3602 . . . . . . . . . . . . . . 15
14 equcom 1794 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1514orbi2i 519 . . . . . . . . . . . . . . 15
16 orcom 387 . . . . . . . . . . . . . . 15
1713, 15, 163bitri 271 . . . . . . . . . . . . . 14
1812, 17syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . 13
1910, 18bitr3d 255 . . . . . . . . . . . 12
205, 19sylan 471 . . . . . . . . . . 11
2120an32s 804 . . . . . . . . . 10
2221ralbidva 2893 . . . . . . . . 9
234, 22syl5bbr 259 . . . . . . . 8
24 unissb 4281 . . . . . . . 8
2523, 24syl6bbr 263 . . . . . . 7
26 ssnpss 3606 . . . . . . . 8
27 ltprord 9429 . . . . . . . . . 10
2827biimpd 207 . . . . . . . . 9
292, 28mpcom 36 . . . . . . . 8
3026, 29nsyl 121 . . . . . . 7
3125, 30syl6bi 228 . . . . . 6
3231con4d 105 . . . . 5
3332ex 434 . . . 4
343, 33syl5 32 . . 3
3534pm2.43d 48 . 2
36 elssuni 4279 . . . 4
37 ssnpss 3606 . . . 4
3836, 37syl 16 . . 3
391brel 5053 . . . 4
40 ltprord 9429 . . . . 5
4140biimpd 207 . . . 4
4239, 41mpcom 36 . . 3
4338, 42nsyl 121 . 2
4435, 43jctil 537 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  C.wpss 3476  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  Orwor 4804   cnp 9258   cltp 9262
This theorem is referenced by:  supexpr  9453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-mi 9273  df-lti 9274  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-ltp 9384
  Copyright terms: Public domain W3C validator