Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suplub2 Unicode version

Theorem suplub2 7941
 Description: Bidirectional form of suplub 7940. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
supmo.1
supcl.2
suplub2.3
Assertion
Ref Expression
suplub2
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,

Proof of Theorem suplub2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supmo.1 . . . 4
2 supcl.2 . . . 4
31, 2suplub 7940 . . 3
43expdimp 437 . 2
5 breq2 4456 . . . 4
65cbvrexv 3085 . . 3
7 breq2 4456 . . . . . . 7
87biimprd 223 . . . . . 6
98a1i 11 . . . . 5
101ad2antrr 725 . . . . . . 7
11 simplr 755 . . . . . . 7
12 suplub2.3 . . . . . . . . 9
1312adantr 465 . . . . . . . 8
1413sselda 3503 . . . . . . 7
151, 2supcl 7938 . . . . . . . 8
1615ad2antrr 725 . . . . . . 7
17 sotr 4827 . . . . . . 7
1810, 11, 14, 16, 17syl13anc 1230 . . . . . 6
1918expcomd 438 . . . . 5
201, 2supub 7939 . . . . . . . 8
2120adantr 465 . . . . . . 7
2221imp 429 . . . . . 6
23 sotric 4831 . . . . . . . 8
2410, 16, 14, 23syl12anc 1226 . . . . . . 7
2524con2bid 329 . . . . . 6
2622, 25mpbird 232 . . . . 5
279, 19, 26mpjaod 381 . . . 4
2827rexlimdva 2949 . . 3
296, 28syl5bi 217 . 2
304, 29impbid 191 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   class class class wbr 4452  Orwor 4804  supcsup 7920 This theorem is referenced by:  suprlub  10530  infmrgelb  10548  supxrlub  11546  infmxrgelb  11555  infrglb  31584 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-po 4805  df-so 4806  df-iota 5556  df-riota 6257  df-sup 7921
 Copyright terms: Public domain W3C validator