Theorem suplub2 7941

Description: Bidirectional form of suplub 7940. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmo.1
supcl.2
suplub2.3

Assertion

Ref	Expression
suplub2

Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,

Proof of Theorem suplub2

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supmo.1	. . . 4
2		supcl.2	. . . 4
3	1, 2	suplub 7940	. . 3
4	3	expdimp 437	. 2
5		breq2 4456	. . . 4
6	5	cbvrexv 3085	. . 3
7		breq2 4456	. . . . . . 7
8	7	biimprd 223	. . . . . 6
9	8	a1i 11	. . . . 5
10	1	ad2antrr 725	. . . . . . 7
11		simplr 755	. . . . . . 7
12		suplub2.3	. . . . . . . . 9
13	12	adantr 465	. . . . . . . 8
14	13	sselda 3503	. . . . . . 7
15	1, 2	supcl 7938	. . . . . . . 8
16	15	ad2antrr 725	. . . . . . 7
17		sotr 4827	. . . . . . 7
18	10, 11, 14, 16, 17	syl13anc 1230	. . . . . 6
19	18	expcomd 438	. . . . 5
20	1, 2	supub 7939	. . . . . . . 8
21	20	adantr 465	. . . . . . 7
22	21	imp 429	. . . . . 6
23		sotric 4831	. . . . . . . 8
24	10, 16, 14, 23	syl12anc 1226	. . . . . . 7
25	24	con2bid 329	. . . . . 6
26	22, 25	mpbird 232	. . . . 5
27	9, 19, 26	mpjaod 381	. . . 4
28	27	rexlimdva 2949	. . 3
29	6, 28	syl5bi 217	. 2
30	4, 29	impbid 191	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   class class class wbr 4452  Orwor 4804  supcsup 7920

This theorem is referenced by:  suprlub  10530  infmrgelb  10548  supxrlub  11546  infmxrgelb  11555  infrglb  31584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-po 4805  df-so 4806  df-iota 5556  df-riota 6257  df-sup 7921