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Theorem supmul 10536
 Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that (supA) (sup )=sup(A ), where is shorthand for { | e.A, e. } and is defined as below. We made use of this in our definition of multiplication in the Dedekind cut construction of the reals (see df-mp 9383). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul.1
supmul.2
Assertion
Ref Expression
supmul
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,,   ,   ,,

Proof of Theorem supmul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supmul.2 . . . . . . 7
21simp2bi 1012 . . . . . 6
3 suprcl 10528 . . . . . 6
42, 3syl 16 . . . . 5
51simp3bi 1013 . . . . . 6
6 suprcl 10528 . . . . . 6
75, 6syl 16 . . . . 5
8 recn 9603 . . . . . 6
9 recn 9603 . . . . . 6
10 mulcom 9599 . . . . . 6
118, 9, 10syl2an 477 . . . . 5
124, 7, 11syl2anc 661 . . . 4
135simp2d 1009 . . . . . . 7
14 n0 3794 . . . . . . 7
1513, 14sylib 196 . . . . . 6
16 0red 9618 . . . . . . 7
175simp1d 1008 . . . . . . . 8
1817sselda 3503 . . . . . . 7
197adantr 465 . . . . . . 7
20 simp1r 1021 . . . . . . . . . 10
211, 20sylbi 195 . . . . . . . . 9
22 breq2 4456 . . . . . . . . . 10
2322rspccv 3207 . . . . . . . . 9
2421, 23syl 16 . . . . . . . 8
2524imp 429 . . . . . . 7
26 suprub 10529 . . . . . . . 8
275, 26sylan 471 . . . . . . 7
2816, 18, 19, 25, 27letrd 9760 . . . . . 6
2915, 28exlimddv 1726 . . . . 5
30 simp1l 1020 . . . . . 6
311, 30sylbi 195 . . . . 5
32 eqid 2457 . . . . . 6
33 biid 236 . . . . . 6
3432, 33supmul1 10533 . . . . 5
357, 29, 31, 2, 34syl31anc 1231 . . . 4
3612, 35eqtrd 2498 . . 3
37 vex 3112 . . . . . . 7
38 eqeq1 2461 . . . . . . . 8
3938rexbidv 2968 . . . . . . 7
4037, 39elab 3246 . . . . . 6
417adantr 465 . . . . . . . . . 10
422simp1d 1008 . . . . . . . . . . 11
4342sselda 3503 . . . . . . . . . 10
44 recn 9603 . . . . . . . . . . 11
45 mulcom 9599 . . . . . . . . . . 11
469, 44, 45syl2an 477 . . . . . . . . . 10
4741, 43, 46syl2anc 661 . . . . . . . . 9
48 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . 14
4948rspccv 3207 . . . . . . . . . . . . 13
5031, 49syl 16 . . . . . . . . . . . 12
5150imp 429 . . . . . . . . . . 11
5221adantr 465 . . . . . . . . . . 11
535adantr 465 . . . . . . . . . . 11
54 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
55 biid 236 . . . . . . . . . . . 12
5654, 55supmul1 10533 . . . . . . . . . . 11
5743, 51, 52, 53, 56syl31anc 1231 . . . . . . . . . 10
58 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . 14
6037, 59elab 3246 . . . . . . . . . . . . 13
61 rspe 2915 . . . . . . . . . . . . . . . 16
62 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6362eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6463rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6564cbvrexv 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
66582rexbidv 2975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6765, 66syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
68 supmul.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6937, 67, 68elab2 3249 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7061, 69sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15
7170ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14
7268, 1supmullem2 10535 . . . . . . . . . . . . . . 15
73 suprub 10529 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7473ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15
7572, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
7671, 75sylan9r 658 . . . . . . . . . . . . 13
7760, 76syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12
7877ralrimiv 2869 . . . . . . . . . . 11
7943adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8018adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8179, 80remulcld 9645 . . . . . . . . . . . . . . 15
82 eleq1a 2540 . . . . . . . . . . . . . . 15
8381, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
8483rexlimdva 2949 . . . . . . . . . . . . 13
8584abssdv 3573 . . . . . . . . . . . 12
86 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8786isseti 3115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8887rgenw 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
89 r19.2z 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9013, 88, 89sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16
91 rexcom4 3129 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9290, 91sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15
9359cbvexv 2024 . . . . . . . . . . . . . . 15
9492, 93sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14
95 abn0 3804 . . . . . . . . . . . . . 14
9694, 95sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13
9796adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
98 suprcl 10528 . . . . . . . . . . . . . . 15
9972, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
10099adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
101 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . 15
102101ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . 14
103102rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . 13
104100, 78, 103syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
105 suprleub 10532 . . . . . . . . . . . 12
10685, 97, 104, 100, 105syl31anc 1231 . . . . . . . . . . 11
10778, 106mpbird 232 . . . . . . . . . 10
10857, 107eqbrtrd 4472 . . . . . . . . 9
10947, 108eqbrtrd 4472 . . . . . . . 8
110 breq1 4455 . . . . . . . 8
111109, 110syl5ibrcom 222 . . . . . . 7
112111rexlimdva 2949 . . . . . 6
11340, 112syl5bi 217 . . . . 5
114113ralrimiv 2869 . . . 4
11541, 43remulcld 9645 . . . . . . . 8
116 eleq1a 2540 . . . . . . . 8
117115, 116syl 16 . . . . . . 7
118117rexlimdva 2949 . . . . . 6
119118abssdv 3573 . . . . 5
1202simp2d 1009 . . . . . . . 8
121 ovex 6324 . . . . . . . . . 10
122121isseti 3115 . . . . . . . . 9
123122rgenw 2818 . . . . . . . 8
124 r19.2z 3918 . . . . . . . 8
125120, 123, 124sylancl 662 . . . . . . 7
126 rexcom4 3129 . . . . . . 7
127125, 126sylib 196 . . . . . 6
128 abn0 3804 . . . . . 6
129127, 128sylibr 212 . . . . 5
130101ralbidv 2896 . . . . . . 7
131130rspcev 3210 . . . . . 6
13299, 114, 131syl2anc 661 . . . . 5
133 suprleub 10532 . . . . 5
134119, 129, 132, 99, 133syl31anc 1231 . . . 4
135114, 134mpbird 232 . . 3
13636, 135eqbrtrd 4472 . 2
13768, 1supmullem1 10534 . . 3
1384, 7remulcld 9645 . . . 4
139 suprleub 10532 . . . 4
14072, 138, 139syl2anc 661 . . 3
141137, 140mpbird 232 . 2
142138, 99letri3d 9748 . 2
143136, 141, 142mpbir2and 922 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513   cmul 9518   clt 9649   cle 9650 This theorem is referenced by:  sqrlem5  13080 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232
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