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Theorem supmul1 10533
Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that A (sup )=sup(A ), where is shorthand for {A | e. } and is defined as below. This is the simple version, with only one set argument; see supmul 10536 for the more general case with two set arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul1.1
supmul1.2
Assertion
Ref Expression
supmul1
Distinct variable groups:   , , ,   , , , ,   ,

Proof of Theorem supmul1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3112 . . . . . . . 8
2 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
32eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10
43cbvrexv 3085 . . . . . . . . 9
5 eqeq1 2461 . . . . . . . . . 10
65rexbidv 2968 . . . . . . . . 9
74, 6syl5bb 257 . . . . . . . 8
8 supmul1.1 . . . . . . . 8
91, 7, 8elab2 3249 . . . . . . 7
10 supmul1.2 . . . . . . . . . . . . 13
11 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
1210, 11sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12
1312simp1d 1008 . . . . . . . . . . 11
1413sselda 3503 . . . . . . . . . 10
15 suprcl 10528 . . . . . . . . . . . 12
1612, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11
1716adantr 465 . . . . . . . . . 10
18 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . 13
1910, 18sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12
20 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . 13
2110, 20sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12
2219, 21jca 532 . . . . . . . . . . 11
2322adantr 465 . . . . . . . . . 10
24 suprub 10529 . . . . . . . . . . 11
2512, 24sylan 471 . . . . . . . . . 10
26 lemul2a 10422 . . . . . . . . . 10
2714, 17, 23, 25, 26syl31anc 1231 . . . . . . . . 9
28 breq1 4455 . . . . . . . . 9
2927, 28syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8
3029rexlimdva 2949 . . . . . . 7
319, 30syl5bi 217 . . . . . 6
3231ralrimiv 2869 . . . . 5
3319adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
3433, 14remulcld 9645 . . . . . . . . . . 11
35 eleq1a 2540 . . . . . . . . . . 11
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . 10
3736rexlimdva 2949 . . . . . . . . 9
389, 37syl5bi 217 . . . . . . . 8
3938ssrdv 3509 . . . . . . 7
40 simpr2 1003 . . . . . . . . . 10
4110, 40sylbi 195 . . . . . . . . 9
42 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11
4342isseti 3115 . . . . . . . . . 10
4443rgenw 2818 . . . . . . . . 9
45 r19.2z 3918 . . . . . . . . 9
4641, 44, 45sylancl 662 . . . . . . . 8
479exbii 1667 . . . . . . . . 9
48 n0 3794 . . . . . . . . 9
49 rexcom4 3129 . . . . . . . . 9
5047, 48, 493bitr4i 277 . . . . . . . 8
5146, 50sylibr 212 . . . . . . 7
5219, 16remulcld 9645 . . . . . . . 8
53 breq2 4456 . . . . . . . . . 10
5453ralbidv 2896 . . . . . . . . 9
5554rspcev 3210 . . . . . . . 8
5652, 32, 55syl2anc 661 . . . . . . 7
5739, 51, 563jca 1176 . . . . . 6
58 suprleub 10532 . . . . . 6
5957, 52, 58syl2anc 661 . . . . 5
6032, 59mpbird 232 . . . 4
61 simpr 461 . . . . . . 7
62 suprcl 10528 . . . . . . . . . 10
6357, 62syl 16 . . . . . . . . 9
6463adantr 465 . . . . . . . 8
6516adantr 465 . . . . . . . 8
6619adantr 465 . . . . . . . 8
67 n0 3794 . . . . . . . . . . . 12
68 0red 9618 . . . . . . . . . . . . . . 15
69 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7010, 69sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . 16
71 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7271rspccva 3209 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7370, 72sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15
7468, 14, 17, 73, 25letrd 9760 . . . . . . . . . . . . . 14
7574ex 434 . . . . . . . . . . . . 13
7675exlimdv 1724 . . . . . . . . . . . 12
7767, 76syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11
7841, 77mpd 15 . . . . . . . . . 10
7978adantr 465 . . . . . . . . 9
80 0red 9618 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8138imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8263adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8321adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8433, 14, 83, 73mulge0d 10154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
85 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8684, 85syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8786rexlimdva 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
889, 87syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8988imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16
90 suprub 10529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9157, 90sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9280, 81, 82, 89, 91letrd 9760 . . . . . . . . . . . . . . 15
9392ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14
9493exlimdv 1724 . . . . . . . . . . . . 13
9548, 94syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12
9651, 95mpd 15 . . . . . . . . . . 11
9796anim1i 568 . . . . . . . . . 10
98 0red 9618 . . . . . . . . . . . 12
99 lelttr 9696 . . . . . . . . . . . 12
10098, 63, 52, 99syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
101100adantr 465 . . . . . . . . . 10
10297, 101mpd 15 . . . . . . . . 9
103 prodgt02 10413 . . . . . . . . 9
10466, 65, 79, 102, 103syl22anc 1229 . . . . . . . 8
105 ltdivmul 10442 . . . . . . . 8
10664, 65, 66, 104, 105syl112anc 1232 . . . . . . 7
10761, 106mpbird 232 . . . . . 6
10812adantr 465 . . . . . . 7
109104gt0ne0d 10142 . . . . . . . 8
11064, 66, 109redivcld 10397 . . . . . . 7
111 suprlub 10530 . . . . . . 7
112108, 110, 111syl2anc 661 . . . . . 6
113107, 112mpbid 210 . . . . 5
114 rspe 2915 . . . . . . . . . . . . . . 15
115114, 9sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14
116115adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
117 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14
11891adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14
119117, 118eqbrtrrd 4474 . . . . . . . . . . . . 13
120116, 119mpdan 668 . . . . . . . . . . . 12
121120expr 615 . . . . . . . . . . 11
122121exlimdv 1724 . . . . . . . . . 10
12343, 122mpi 17 . . . . . . . . 9
124123adantlr 714 . . . . . . . 8
12534adantlr 714 . . . . . . . . 9
12663ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
127125, 126lenltd 9752 . . . . . . . 8
128124, 127mpbid 210 . . . . . . 7
12914adantlr 714 . . . . . . . 8
13019ad2antrr 725 . . . . . . . 8
131104adantr 465 . . . . . . . 8
132 ltdivmul 10442 . . . . . . . 8
133126, 129, 130, 131, 132syl112anc 1232 . . . . . . 7
134128, 133mtbird 301 . . . . . 6
135134nrexdv 2913 . . . . 5
136113, 135pm2.65da 576 . . . 4
13760, 136jca 532 . . 3
13863, 52eqleltd 9750 . . 3
139137, 138mpbird 232 . 2
140139eqcomd 2465 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cr 9512  0cc0 9513   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cdiv 10231
This theorem is referenced by:  supmul  10536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232
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