Theorem supmullem1 10534

Description: Lemma for supmul 10536. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmul.1
supmul.2

Assertion

Ref	Expression
supmullem1

Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,   ,,,

Proof of Theorem supmullem1

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3112	. . . 4
2		oveq1 6303	. . . . . . . 8
3	2	eqeq2d 2471	. . . . . . 7
4	3	rexbidv 2968	. . . . . 6
5	4	cbvrexv 3085	. . . . 5
6		eqeq1 2461	. . . . . 6
7	6	2rexbidv 2975	. . . . 5
8	5, 7	syl5bb 257	. . . 4
9		supmul.1	. . . 4
10	1, 8, 9	elab2 3249	. . 3
11		supmul.2	. . . . . . . . . . 11
12	11	simp2bi 1012	. . . . . . . . . 10
13	12	simp1d 1008	. . . . . . . . 9
14	13	sselda 3503	. . . . . . . 8
15	14	adantrr 716	. . . . . . 7
16		suprcl 10528	. . . . . . . . 9
17	12, 16	syl 16	. . . . . . . 8
18	17	adantr 465	. . . . . . 7
19	11	simp3bi 1013	. . . . . . . . . 10
20	19	simp1d 1008	. . . . . . . . 9
21	20	sselda 3503	. . . . . . . 8
22	21	adantrl 715	. . . . . . 7
23		suprcl 10528	. . . . . . . . 9
24	19, 23	syl 16	. . . . . . . 8
25	24	adantr 465	. . . . . . 7
26		simp1l 1020	. . . . . . . . . . 11
27	11, 26	sylbi 195	. . . . . . . . . 10
28		breq2 4456	. . . . . . . . . . 11
29	28	rspccv 3207	. . . . . . . . . 10
30	27, 29	syl 16	. . . . . . . . 9
31	30	imp 429	. . . . . . . 8
32	31	adantrr 716	. . . . . . 7
33		simp1r 1021	. . . . . . . . . . 11
34	11, 33	sylbi 195	. . . . . . . . . 10
35		breq2 4456	. . . . . . . . . . 11
36	35	rspccv 3207	. . . . . . . . . 10
37	34, 36	syl 16	. . . . . . . . 9
38	37	imp 429	. . . . . . . 8
39	38	adantrl 715	. . . . . . 7
40		suprub 10529	. . . . . . . . 9
41	12, 40	sylan 471	. . . . . . . 8
42	41	adantrr 716	. . . . . . 7
43		suprub 10529	. . . . . . . . 9
44	19, 43	sylan 471	. . . . . . . 8
45	44	adantrl 715	. . . . . . 7
46	15, 18, 22, 25, 32, 39, 42, 45	lemul12ad 10513	. . . . . 6
47	46	ex 434	. . . . 5
48		breq1 4455	. . . . . 6
49	48	biimprcd 225	. . . . 5
50	47, 49	syl6 33	. . . 4
51	50	rexlimdvv 2955	. . 3
52	10, 51	syl5bi 217	. 2
53	52	ralrimiv 2869	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  supcsup 7920  cr 9512  0cc0 9513  cmul 9518  clt 9649  cle 9650

This theorem is referenced by:  supmullem2  10535  supmul  10536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831