Theorem supmullem2 10535

Description: Lemma for supmul 10536. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmul.1
supmul.2

Assertion

Ref	Expression
supmullem2

Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,   ,,,

Proof of Theorem supmullem2

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3112	. . . . 5
2		oveq1 6303	. . . . . . . . 9
3	2	eqeq2d 2471	. . . . . . . 8
4	3	rexbidv 2968	. . . . . . 7
5	4	cbvrexv 3085	. . . . . 6
6		eqeq1 2461	. . . . . . 7
7	6	2rexbidv 2975	. . . . . 6
8	5, 7	syl5bb 257	. . . . 5
9		supmul.1	. . . . 5
10	1, 8, 9	elab2 3249	. . . 4
11		supmul.2	. . . . . . . . . . 11
12	11	simp2bi 1012	. . . . . . . . . 10
13	12	simp1d 1008	. . . . . . . . 9
14	13	sseld 3502	. . . . . . . 8
15	11	simp3bi 1013	. . . . . . . . . 10
16	15	simp1d 1008	. . . . . . . . 9
17	16	sseld 3502	. . . . . . . 8
18	14, 17	anim12d 563	. . . . . . 7
19		remulcl 9598	. . . . . . 7
20	18, 19	syl6 33	. . . . . 6
21		eleq1a 2540	. . . . . 6
22	20, 21	syl6 33	. . . . 5
23	22	rexlimdvv 2955	. . . 4
24	10, 23	syl5bi 217	. . 3
25	24	ssrdv 3509	. 2
26	12	simp2d 1009	. . . . 5
27	15	simp2d 1009	. . . . . . . 8
28		ovex 6324	. . . . . . . . . 10
29	28	isseti 3115	. . . . . . . . 9
30	29	rgenw 2818	. . . . . . . 8
31		r19.2z 3918	. . . . . . . 8
32	27, 30, 31	sylancl 662	. . . . . . 7
33		rexcom4 3129	. . . . . . 7
34	32, 33	sylib 196	. . . . . 6
35	34	ralrimivw 2872	. . . . 5
36		r19.2z 3918	. . . . 5
37	26, 35, 36	syl2anc 661	. . . 4
38		rexcom4 3129	. . . 4
39	37, 38	sylib 196	. . 3
40		n0 3794	. . . 4
41	10	exbii 1667	. . . 4
42	40, 41	bitri 249	. . 3
43	39, 42	sylibr 212	. 2
44		suprcl 10528	. . . . 5
45	12, 44	syl 16	. . . 4
46		suprcl 10528	. . . . 5
47	15, 46	syl 16	. . . 4
48	45, 47	remulcld 9645	. . 3
49	9, 11	supmullem1 10534	. . 3
50		breq2 4456	. . . . 5
51	50	ralbidv 2896	. . . 4
52	51	rspcev 3210	. . 3
53	48, 49, 52	syl2anc 661	. 2
54	25, 43, 53	3jca 1176	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  supcsup 7920  cr 9512  0cc0 9513  cmul 9518  clt 9649  cle 9650

This theorem is referenced by:  supmul  10536  sqrlem5  13080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831