Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppr Unicode version

Theorem suppr 7950
 Description: The supremum of a pair. (Contributed by NM, 17-Jun-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
suppr

Proof of Theorem suppr
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . 2
2 ifcl 3983 . . 3
4 ifpr 4077 . . 3
6 breq1 4455 . . . . . 6
76notbid 294 . . . . 5
8 breq1 4455 . . . . . 6
98notbid 294 . . . . 5
10 sonr 4826 . . . . . . 7
11103adant3 1016 . . . . . 6
1211adantr 465 . . . . 5
13 simpr 461 . . . . 5
147, 9, 12, 13ifbothda 3976 . . . 4
15 breq1 4455 . . . . . 6
1615notbid 294 . . . . 5
17 breq1 4455 . . . . . 6
1817notbid 294 . . . . 5
19 so2nr 4829 . . . . . . . . 9
20193impb 1192 . . . . . . . 8
21203com23 1202 . . . . . . 7
22 imnan 422 . . . . . . 7
2321, 22sylibr 212 . . . . . 6
2423imp 429 . . . . 5
25 sonr 4826 . . . . . . 7
26253adant2 1015 . . . . . 6
2726adantr 465 . . . . 5
2816, 18, 24, 27ifbothda 3976 . . . 4
29 breq2 4456 . . . . . . 7
3029notbid 294 . . . . . 6
31 breq2 4456 . . . . . . 7
3231notbid 294 . . . . . 6
3330, 32ralprg 4078 . . . . 5
34333adant1 1014 . . . 4
3514, 28, 34mpbir2and 922 . . 3
3635r19.21bi 2826 . 2
371, 3, 5, 36supmax 7944 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  ifcif 3941  {cpr 4031   class class class wbr 4452  Orwor 4804  supcsup 7920 This theorem is referenced by:  supsn  7951  tmsxpsval2  21042  esumsn  28072 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-po 4805  df-so 4806  df-iota 5556  df-riota 6257  df-sup 7921
 Copyright terms: Public domain W3C validator