Theorem suppr 7950

Description: The supremum of a pair. (Contributed by NM, 17-Jun-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
suppr

Proof of Theorem suppr

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 996	. 2
2		ifcl 3983	. . 3
3	2	3adant1 1014	. 2
4		ifpr 4077	. . 3
5	4	3adant1 1014	. 2
6		breq1 4455	. . . . . 6
7	6	notbid 294	. . . . 5
8		breq1 4455	. . . . . 6
9	8	notbid 294	. . . . 5
10		sonr 4826	. . . . . . 7
11	10	3adant3 1016	. . . . . 6
12	11	adantr 465	. . . . 5
13		simpr 461	. . . . 5
14	7, 9, 12, 13	ifbothda 3976	. . . 4
15		breq1 4455	. . . . . 6
16	15	notbid 294	. . . . 5
17		breq1 4455	. . . . . 6
18	17	notbid 294	. . . . 5
19		so2nr 4829	. . . . . . . . 9
20	19	3impb 1192	. . . . . . . 8
21	20	3com23 1202	. . . . . . 7
22		imnan 422	. . . . . . 7
23	21, 22	sylibr 212	. . . . . 6
24	23	imp 429	. . . . 5
25		sonr 4826	. . . . . . 7
26	25	3adant2 1015	. . . . . 6
27	26	adantr 465	. . . . 5
28	16, 18, 24, 27	ifbothda 3976	. . . 4
29		breq2 4456	. . . . . . 7
30	29	notbid 294	. . . . . 6
31		breq2 4456	. . . . . . 7
32	31	notbid 294	. . . . . 6
33	30, 32	ralprg 4078	. . . . 5
34	33	3adant1 1014	. . . 4
35	14, 28, 34	mpbir2and 922	. . 3
36	35	r19.21bi 2826	. 2
37	1, 3, 5, 36	supmax 7944	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  ifcif 3941  {cpr 4031   class class class wbr 4452  Orwor 4804  supcsup 7920

This theorem is referenced by:  supsn  7951  tmsxpsval2  21042  esumsn  28072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-po 4805  df-so 4806  df-iota 5556  df-riota 6257  df-sup 7921