MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppss Unicode version

Theorem suppss 6949
Description: Show that the support of a function is contained in a set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suppss.f
suppss.n
Assertion
Ref Expression
suppss
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem suppss
StepHypRef Expression
1 suppss.f . . . . . . . 8
2 ffn 5736 . . . . . . . 8
31, 2syl 16 . . . . . . 7
43adantl 466 . . . . . 6
5 fdm 5740 . . . . . . . 8
6 dmexg 6731 . . . . . . . . . 10
76adantr 465 . . . . . . . . 9
8 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
98eqcoms 2469 . . . . . . . . 9
107, 9syl5ibr 221 . . . . . . . 8
111, 5, 103syl 20 . . . . . . 7
1211impcom 430 . . . . . 6
13 simplr 755 . . . . . 6
14 elsuppfn 6926 . . . . . 6
154, 12, 13, 14syl3anc 1228 . . . . 5
16 eldif 3485 . . . . . . . . 9
17 suppss.n . . . . . . . . . 10
1817adantll 713 . . . . . . . . 9
1916, 18sylan2br 476 . . . . . . . 8
2019expr 615 . . . . . . 7
2120necon1ad 2673 . . . . . 6
2221expimpd 603 . . . . 5
2315, 22sylbid 215 . . . 4
2423ssrdv 3509 . . 3
2524ex 434 . 2
26 supp0prc 6921 . . . 4
27 0ss 3814 . . . 4
2826, 27syl6eqss 3553 . . 3
2928a1d 25 . 2
3025, 29pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475   c0 3784  domcdm 5004  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   csupp 6918
This theorem is referenced by:  fsuppco2  7882  fsuppcor  7883  cantnfp1lem1  8118  cantnfp1lem3  8120  gsumzaddlem  16934  gsumzmhm  16957  gsum2d2lem  17001  lcomfsupp  17550  psrbaglesupp  18017  mplsubglem  18093  mpllsslem  18094  mplsubrglem  18100  mvrcl  18111  evlslem3  18183  frlmssuvc1  18825  frlmsslsp  18829  frlmup2  18833  deg1mul3le  22517  jensen  23318  resf1o  27553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-supp 6919
  Copyright terms: Public domain W3C validator