MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppssov1 Unicode version

Theorem suppssov1 6951
Description: Formula building theorem for support restrictions: operator with left annihilator. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suppssov1.s
suppssov1.o
suppssov1.a
suppssov1.b
suppssov1.y
Assertion
Ref Expression
suppssov1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,O   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem suppssov1
StepHypRef Expression
1 suppssov1.a . . . . . . . . . . 11
2 elex 3118 . . . . . . . . . . 11
31, 2syl 16 . . . . . . . . . 10
43adantll 713 . . . . . . . . 9
54adantr 465 . . . . . . . 8
6 eldifsni 4156 . . . . . . . . . 10
7 suppssov1.b . . . . . . . . . . . . . 14
87adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13
9 suppssov1.o . . . . . . . . . . . . . . . 16
109ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . 15
1110adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
13 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15
1413eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . 14
1514rspcva 3208 . . . . . . . . . . . . 13
168, 12, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
17 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . 13
1817eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . 12
1916, 18syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11
2019necon3d 2681 . . . . . . . . . 10
216, 20syl5 32 . . . . . . . . 9
2221imp 429 . . . . . . . 8
23 eldifsn 4155 . . . . . . . 8
245, 22, 23sylanbrc 664 . . . . . . 7
2524ex 434 . . . . . 6
2625ss2rabdv 3580 . . . . 5
27 eqid 2457 . . . . . 6
28 simpll 753 . . . . . 6
29 simplr 755 . . . . . 6
3027, 28, 29mptsuppdifd 6941 . . . . 5
31 eqid 2457 . . . . . 6
32 suppssov1.y . . . . . . 7
3332adantl 466 . . . . . 6
3431, 28, 33mptsuppdifd 6941 . . . . 5
3526, 30, 343sstr4d 3546 . . . 4
36 suppssov1.s . . . . 5
3736adantl 466 . . . 4
3835, 37sstrd 3513 . . 3
3938ex 434 . 2
40 mptexg 6142 . . . . . . 7
41 ovex 6324 . . . . . . . . . 10
4241rgenw 2818 . . . . . . . . 9
43 dmmptg 5509 . . . . . . . . 9
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . 8
45 dmexg 6731 . . . . . . . 8
4644, 45syl5eqelr 2550 . . . . . . 7
4740, 46impbii 188 . . . . . 6
4847anbi1i 695 . . . . 5
49 supp0prc 6921 . . . . 5
5048, 49sylnbi 306 . . . 4
51 0ss 3814 . . . 4
5250, 51syl6eqss 3553 . . 3
5352a1d 25 . 2
5439, 53pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  {crab 2811   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  e.cmpt 4510  domcdm 5004  (class class class)co 6296   csupp 6918
This theorem is referenced by:  suppssof1  6952  evlslem6  18181  ply1coeOLD  18338  plypf1  22609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-supp 6919
  Copyright terms: Public domain W3C validator