Theorem suppssov1 6951

Description: Formula building theorem for support restrictions: operator with left annihilator. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppssov1.s
suppssov1.o
suppssov1.a
suppssov1.b
suppssov1.y

Assertion

Ref	Expression
suppssov1

Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,O   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem suppssov1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppssov1.a	. . . . . . . . . . 11
2		elex 3118	. . . . . . . . . . 11
3	1, 2	syl 16	. . . . . . . . . 10
4	3	adantll 713	. . . . . . . . 9
5	4	adantr 465	. . . . . . . 8
6		eldifsni 4156	. . . . . . . . . 10
7		suppssov1.b	. . . . . . . . . . . . . 14
8	7	adantll 713	. . . . . . . . . . . . 13
9		suppssov1.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16
10	9	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . . . . 15
11	10	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14
12	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
13		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . 15
14	13	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . . . 14
15	14	rspcva 3208	. . . . . . . . . . . . 13
16	8, 12, 15	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12
17		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . 13
18	17	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . 12
19	16, 18	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . 11
20	19	necon3d 2681	. . . . . . . . . 10
21	6, 20	syl5 32	. . . . . . . . 9
22	21	imp 429	. . . . . . . 8
23		eldifsn 4155	. . . . . . . 8
24	5, 22, 23	sylanbrc 664	. . . . . . 7
25	24	ex 434	. . . . . 6
26	25	ss2rabdv 3580	. . . . 5
27		eqid 2457	. . . . . 6
28		simpll 753	. . . . . 6
29		simplr 755	. . . . . 6
30	27, 28, 29	mptsuppdifd 6941	. . . . 5
31		eqid 2457	. . . . . 6
32		suppssov1.y	. . . . . . 7
33	32	adantl 466	. . . . . 6
34	31, 28, 33	mptsuppdifd 6941	. . . . 5
35	26, 30, 34	3sstr4d 3546	. . . 4
36		suppssov1.s	. . . . 5
37	36	adantl 466	. . . 4
38	35, 37	sstrd 3513	. . 3
39	38	ex 434	. 2
40		mptexg 6142	. . . . . . 7
41		ovex 6324	. . . . . . . . . 10
42	41	rgenw 2818	. . . . . . . . 9
43		dmmptg 5509	. . . . . . . . 9
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . . . . 8
45		dmexg 6731	. . . . . . . 8
46	44, 45	syl5eqelr 2550	. . . . . . 7
47	40, 46	impbii 188	. . . . . 6
48	47	anbi1i 695	. . . . 5
49		supp0prc 6921	. . . . 5
50	48, 49	sylnbi 306	. . . 4
51		0ss 3814	. . . 4
52	50, 51	syl6eqss 3553	. . 3
53	52	a1d 25	. 2
54	39, 53	pm2.61i 164	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  {crab 2811  cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029  e.cmpt 4510  domcdm 5004  (class class class)co 6296  csupp 6918

This theorem is referenced by:  suppssof1  6952  evlslem6  18181  ply1coeOLD  18338  plypf1  22609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-supp 6919