Theorem suprcl 10528

Description: Closure of supremum of a nonempty bounded set of reals. (Contributed by NM, 12-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
suprcl

Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem suprcl

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 9686	. . 3
2	1	a1i 11	. 2
3		sup3 10525	. 2
4	2, 3	supcl 7938	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\w3a 973  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  Orwor 4804  supcsup 7920  cr 9512  clt 9649  cle 9650

This theorem is referenced by:  suprub  10529  suprleub  10532  supmul1  10533  supmullem1  10534  supmullem2  10535  supmul  10536  suprclii  10538  infmrcl  10547  suprzcl  10967  supminf  11198  rpnnen1lem4  11240  supxrre  11548  supxrbnd  11549  supicc  11697  flval3  11951  sqrlem4  13079  climsup  13492  supcvg  13667  mertenslem1  13693  ruclem12  13974  prmreclem6  14439  icccmplem2  21328  icccmplem3  21329  reconnlem2  21332  evth  21459  ivthlem2  21864  ivthlem3  21865  ioombl1lem4  21971  mbfsup  22071  mbflimsup  22073  itg2monolem1  22157  itg2mono  22160  itg2cnlem1  22168  c1liplem1  22397  nmcexi  26945  rge0scvg  27931  supaddc  30041  supadd  30042  ismblfin  30055  itg2addnclem2  30067  ftc1anclem7  30096  ftc1anc  30098  ubelsupr  31395  suprnmpt  31451  upbdrech  31505  suprcld  37977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831