Theorem suprzcl 10967

Description: The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
suprzcl

Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem suprzcl

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 10896	. . . . . 6
2		sstr 3511	. . . . . 6
3	1, 2	mpan2 671	. . . . 5
4		suprcl 10528	. . . . 5
5	3, 4	syl3an1 1261	. . . 4
6	5	ltm1d 10503	. . 3
7		peano2rem 9909	. . . . . 6
8	4, 7	syl 16	. . . . 5
9		suprlub 10530	. . . . 5
10	8, 9	mpdan 668	. . . 4
11	3, 10	syl3an1 1261	. . 3
12	6, 11	mpbid 210	. 2
13		simpl1 999	. . . . . . . . . 10
14	13	sselda 3503	. . . . . . . . 9
15	1, 14	sseldi 3501	. . . . . . . 8
16	5	adantr 465	. . . . . . . . 9
17	16	adantr 465	. . . . . . . 8
18		simprl 756	. . . . . . . . . . . 12
19	13, 18	sseldd 3504	. . . . . . . . . . 11
20		zre 10893	. . . . . . . . . . 11
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . . . 10
22		peano2re 9774	. . . . . . . . . 10
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . . 9
24	23	adantr 465	. . . . . . . 8
25		suprub 10529	. . . . . . . . . 10
26	3, 25	syl3anl1 1276	. . . . . . . . 9
27	26	adantlr 714	. . . . . . . 8
28		simprr 757	. . . . . . . . . 10
29		1red 9632	. . . . . . . . . . 11
30	16, 29, 21	ltsubaddd 10173	. . . . . . . . . 10
31	28, 30	mpbid 210	. . . . . . . . 9
32	31	adantr 465	. . . . . . . 8
33	15, 17, 24, 27, 32	lelttrd 9761	. . . . . . 7
34	19	adantr 465	. . . . . . . 8
35		zleltp1 10939	. . . . . . . 8
36	14, 34, 35	syl2anc 661	. . . . . . 7
37	33, 36	mpbird 232	. . . . . 6
38	37	ralrimiva 2871	. . . . 5
39		suprleub 10532	. . . . . . 7
40	3, 39	syl3anl1 1276	. . . . . 6
41	21, 40	syldan 470	. . . . 5
42	38, 41	mpbird 232	. . . 4
43		suprub 10529	. . . . . 6
44	3, 43	syl3anl1 1276	. . . . 5
45	44	adantrr 716	. . . 4
46	16, 21	letri3d 9748	. . . 4
47	42, 45, 46	mpbir2and 922	. . 3
48	47, 18	eqeltrd 2545	. 2
49	12, 48	rexlimddv 2953	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  supcsup 7920  cr 9512  1c1 9514  caddc 9516  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  cz 10889

This theorem is referenced by:  suprfinzcl  11003  rpnnen1lem1  11237  rpnnen1lem2  11238  pgpssslw  16634  plyeq0lem  22607  fourierdlem20  31909  fourierdlem64  31953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890