MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprzcl Unicode version

Theorem suprzcl 10967
Description: The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
suprzcl
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem suprzcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssre 10896 . . . . . 6
2 sstr 3511 . . . . . 6
31, 2mpan2 671 . . . . 5
4 suprcl 10528 . . . . 5
53, 4syl3an1 1261 . . . 4
65ltm1d 10503 . . 3
7 peano2rem 9909 . . . . . 6
84, 7syl 16 . . . . 5
9 suprlub 10530 . . . . 5
108, 9mpdan 668 . . . 4
113, 10syl3an1 1261 . . 3
126, 11mpbid 210 . 2
13 simpl1 999 . . . . . . . . . 10
1413sselda 3503 . . . . . . . . 9
151, 14sseldi 3501 . . . . . . . 8
165adantr 465 . . . . . . . . 9
1716adantr 465 . . . . . . . 8
18 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12
1913, 18sseldd 3504 . . . . . . . . . . 11
20 zre 10893 . . . . . . . . . . 11
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . 10
22 peano2re 9774 . . . . . . . . . 10
2321, 22syl 16 . . . . . . . . 9
2423adantr 465 . . . . . . . 8
25 suprub 10529 . . . . . . . . . 10
263, 25syl3anl1 1276 . . . . . . . . 9
2726adantlr 714 . . . . . . . 8
28 simprr 757 . . . . . . . . . 10
29 1red 9632 . . . . . . . . . . 11
3016, 29, 21ltsubaddd 10173 . . . . . . . . . 10
3128, 30mpbid 210 . . . . . . . . 9
3231adantr 465 . . . . . . . 8
3315, 17, 24, 27, 32lelttrd 9761 . . . . . . 7
3419adantr 465 . . . . . . . 8
35 zleltp1 10939 . . . . . . . 8
3614, 34, 35syl2anc 661 . . . . . . 7
3733, 36mpbird 232 . . . . . 6
3837ralrimiva 2871 . . . . 5
39 suprleub 10532 . . . . . . 7
403, 39syl3anl1 1276 . . . . . 6
4121, 40syldan 470 . . . . 5
4238, 41mpbird 232 . . . 4
43 suprub 10529 . . . . . 6
443, 43syl3anl1 1276 . . . . 5
4544adantrr 716 . . . 4
4616, 21letri3d 9748 . . . 4
4742, 45, 46mpbir2and 922 . . 3
4847, 18eqeltrd 2545 . 2
4912, 48rexlimddv 2953 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cr 9512  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cz 10889
This theorem is referenced by:  suprfinzcl  11003  rpnnen1lem1  11237  rpnnen1lem2  11238  pgpssslw  16634  plyeq0lem  22607  fourierdlem20  31909  fourierdlem64  31953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890
  Copyright terms: Public domain W3C validator