Theorem suprzub 11202

Description: The supremum of a bounded-above set of integers is greater than any member of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
suprzub

Distinct variable groups:   ,,   ,

Proof of Theorem suprzub

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 998	. . 3
2		ltso 9686	. . . . 5
3	2	a1i 11	. . . 4
4		simp1 996	. . . . . 6
5		zssre 10896	. . . . . 6
6	4, 5	syl6ss 3515	. . . . 5
7		ne0i 3790	. . . . . . 7
8	1, 7	syl 16	. . . . . 6
9		simp2 997	. . . . . 6
10		zsupss 11200	. . . . . 6
11	4, 8, 9, 10	syl3anc 1228	. . . . 5
12		ssrexv 3564	. . . . 5
13	6, 11, 12	sylc 60	. . . 4
14	3, 13	supub 7939	. . 3
15	1, 14	mpd 15	. 2
16	6, 1	sseldd 3504	. . 3
17		suprzcl2 11201	. . . . 5
18	4, 8, 9, 17	syl3anc 1228	. . . 4
19	6, 18	sseldd 3504	. . 3
20	16, 19	lenltd 9752	. 2
21	15, 20	mpbird 232	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  Orwor 4804  supcsup 7920  cr 9512  clt 9649  cle 9650  cz 10889

This theorem is referenced by:  gcdcllem3  14151  pcprendvds  14364  pcpremul  14367  prmreclem1  14434  0ram  14538  gexex  16859  fourierdlem25  31914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111