Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supsr Unicode version

Theorem supsr 9510
 Description: A nonempty, bounded set of signed reals has a supremum. (Contributed by NM, 21-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
supsr
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem supsr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3794 . . 3
2 ltrelsr 9466 . . . . . . . . . . . . 13
32brel 5053 . . . . . . . . . . . 12
43simpld 459 . . . . . . . . . . 11
54ralimi 2850 . . . . . . . . . 10
6 dfss3 3493 . . . . . . . . . 10
75, 6sylibr 212 . . . . . . . . 9
87sseld 3502 . . . . . . . 8
98rexlimivw 2946 . . . . . . 7
109impcom 430 . . . . . 6
11 eleq1 2529 . . . . . . . . 9
1211anbi1d 704 . . . . . . . 8
1312imbi1d 317 . . . . . . 7
14 opeq1 4217 . . . . . . . . . . . 12
1514eceq1d 7367 . . . . . . . . . . 11
1615oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
1716eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
1817cbvabv 2600 . . . . . . . 8
19 1sr 9479 . . . . . . . . 9
2019elimel 4004 . . . . . . . 8
2118, 20supsrlem 9509 . . . . . . 7
2213, 21dedth 3993 . . . . . 6
2310, 22mpcom 36 . . . . 5
2423ex 434 . . . 4
2524exlimiv 1722 . . 3
261, 25sylbi 195 . 2
2726imp 429 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  <.cop 4035   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  [cec 7328   c1p 9259   cer 9263   cnr 9264   c1r 9266   cplr 9268   cltr 9270 This theorem is referenced by:  axpre-sup  9567 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ec 7332  df-qs 7336  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-1p 9381  df-plp 9382  df-mp 9383  df-ltp 9384  df-enr 9454  df-nr 9455  df-plr 9456  df-mr 9457  df-ltr 9458  df-0r 9459  df-1r 9460  df-m1r 9461
 Copyright terms: Public domain W3C validator