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Theorem supsrlem 9509
Description: Lemma for supremum theorem. (Contributed by NM, 21-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
supsrlem.1
supsrlem.2
Assertion
Ref Expression
supsrlem
Distinct variable groups:   , , , ,   , , , ,   , , , ,

Proof of Theorem supsrlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supsrlem.2 . . . . . . 7
2 0idsr 9495 . . . . . . 7
31, 2mp1i 12 . . . . . 6
4 simpl 457 . . . . . 6
53, 4eqeltrd 2545 . . . . 5
6 1pr 9414 . . . . . . 7
76elexi 3119 . . . . . 6
8 opeq1 4217 . . . . . . . . . 10
98eceq1d 7367 . . . . . . . . 9
10 df-0r 9459 . . . . . . . . 9
119, 10syl6eqr 2516 . . . . . . . 8
1211oveq2d 6312 . . . . . . 7
1312eleq1d 2526 . . . . . 6
14 supsrlem.1 . . . . . 6
157, 13, 14elab2 3249 . . . . 5
165, 15sylibr 212 . . . 4
17 ne0i 3790 . . . 4
1816, 17syl 16 . . 3
19 breq1 4455 . . . . . . . 8
2019rspccv 3207 . . . . . . 7
21 0lt1sr 9493 . . . . . . . . . . . . 13
22 m1r 9480 . . . . . . . . . . . . . 14
23 ltasr 9498 . . . . . . . . . . . . . 14
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
2521, 24mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12
26 0idsr 9495 . . . . . . . . . . . . 13
2722, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
28 m1p1sr 9490 . . . . . . . . . . . 12
2925, 27, 283brtr3i 4479 . . . . . . . . . . 11
30 ltasr 9498 . . . . . . . . . . . 12
311, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
3229, 31mpbi 208 . . . . . . . . . 10
331, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
3432, 33breqtri 4475 . . . . . . . . 9
35 ltsosr 9492 . . . . . . . . . 10
36 ltrelsr 9466 . . . . . . . . . 10
3735, 36sotri 5399 . . . . . . . . 9
3834, 37mpan 670 . . . . . . . 8
391map2psrpr 9508 . . . . . . . 8
4038, 39sylib 196 . . . . . . 7
4120, 40syl6 33 . . . . . 6
42 breq2 4456 . . . . . . . . . 10
4342ralbidv 2896 . . . . . . . . 9
4414abeq2i 2584 . . . . . . . . . . 11
45 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . 13
4645rspccv 3207 . . . . . . . . . . . 12
471ltpsrpr 9507 . . . . . . . . . . . 12
4846, 47syl6ib 226 . . . . . . . . . . 11
4944, 48syl5bi 217 . . . . . . . . . 10
5049ralrimiv 2869 . . . . . . . . 9
5143, 50syl6bir 229 . . . . . . . 8
5251com12 31 . . . . . . 7
5352reximdv 2931 . . . . . 6
5441, 53syld 44 . . . . 5
5554rexlimivw 2946 . . . 4
5655impcom 430 . . 3
57 supexpr 9453 . . 3
5818, 56, 57syl2anc 661 . 2
591mappsrpr 9506 . . . . . . 7
6036brel 5053 . . . . . . 7
6159, 60sylbir 213 . . . . . 6
6261simprd 463 . . . . 5
6362adantl 466 . . . 4
6435, 36sotri 5399 . . . . . . . . . . . . . . 15
6559, 64sylanbr 473 . . . . . . . . . . . . . 14
661map2psrpr 9508 . . . . . . . . . . . . . 14
6765, 66sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
68 rexex 2914 . . . . . . . . . . . . 13
69 df-ral 2812 . . . . . . . . . . . . . . 15
70 19.29 1683 . . . . . . . . . . . . . . . 16
71 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7244, 71syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
731ltpsrpr 9507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
74 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7573, 74syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7675notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7772, 76imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7877biimpac 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7978exlimiv 1722 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8070, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
8169, 80sylanb 472 . . . . . . . . . . . . . 14
8281expcom 435 . . . . . . . . . . . . 13
8367, 68, 823syl 20 . . . . . . . . . . . 12
8483impd 431 . . . . . . . . . . 11
8584impancom 440 . . . . . . . . . 10
8685pm2.01d 169 . . . . . . . . 9
8786expr 615 . . . . . . . 8
8887ralrimiv 2869 . . . . . . 7
8988ex 434 . . . . . 6
9089adantl 466 . . . . 5
91 r19.29 2992 . . . . . . . . . . . . . 14
92 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9347, 92syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9493biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
95 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
96 opeq1 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9796eceq1d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9897oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9998eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10095, 99, 14elab2 3249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
101 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1021ltpsrpr 9507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
103101, 102syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
104103rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105100, 104sylanb 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
106105rexlimiva 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
107 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
108107rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109106, 108syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11094, 109imim12d 74 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111110impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . 15
112111rexlimivw 2946 . . . . . . . . . . . . . 14
11391, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
11466, 113sylan2b 475 . . . . . . . . . . . 12
115114ex 434 . . . . . . . . . . 11
116115adantl 466 . . . . . . . . . 10
117116a1dd 46 . . . . . . . . 9
11835, 36sotri2 5401 . . . . . . . . . . . . 13
11934, 118mp3an3 1313 . . . . . . . . . . . 12
120 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . 15
121120rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . 14
122121ex 434 . . . . . . . . . . . . 13
123122a1dd 46 . . . . . . . . . . . 12
124119, 123syl5 32 . . . . . . . . . . 11
125124expcomd 438 . . . . . . . . . 10
126125ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
127117, 126pm2.61d 158 . . . . . . . 8
128127ralrimiv 2869 . . . . . . 7
129128ex 434 . . . . . 6
130129adantlr 714 . . . . 5
13190, 130anim12d 563 . . . 4
132 breq1 4455 . . . . . . . 8
133132notbid 294 . . . . . . 7
134133ralbidv 2896 . . . . . 6
135 breq2 4456 . . . . . . . 8
136135imbi1d 317 . . . . . . 7
137136ralbidv 2896 . . . . . 6
138134, 137anbi12d 710 . . . . 5
139138rspcev 3210 . . . 4
14063, 131, 139syl6an 545 . . 3
141140rexlimdva 2949 . 2
14258, 141mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   c0 3784  <.cop 4035   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  [cec 7328   cnp 9258   c1p 9259   cltp 9262   cer 9263   cnr 9264   c0r 9265   c1r 9266   cm1r 9267   cplr 9268   cltr 9270
This theorem is referenced by:  supsr  9510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ec 7332  df-qs 7336  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-1p 9381  df-plp 9382  df-mp 9383  df-ltp 9384  df-enr 9454  df-nr 9455  df-plr 9456  df-mr 9457  df-ltr 9458  df-0r 9459  df-1r 9460  df-m1r 9461
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