Theorem supval2 7935

Description: Alternative expression for the supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 24-Sep-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
supmo.1

Assertion

Ref	Expression
supval2

Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem supval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supmo.1	. 2
2		simpl 457	. . . . . 6
3		simpr 461	. . . . . 6
4	2, 3	supeu 7934	. . . . 5
5		riotauni 6263	. . . . 5
6	4, 5	syl 16	. . . 4
7		df-sup 7921	. . . 4
8	6, 7	syl6reqr 2517	. . 3
9		rabn0 3805	. . . . . . . . . 10
10	9	necon1bbii 2721	. . . . . . . . 9
11	10	biimpi 194	. . . . . . . 8
12	11	unieqd 4259	. . . . . . 7
13		uni0 4276	. . . . . . 7
14	12, 13	syl6eq 2514	. . . . . 6
15	7, 14	syl5eq 2510	. . . . 5
16		reurex 3074	. . . . . . 7
17	16	con3i 135	. . . . . 6
18		riotaund 6293	. . . . . 6
19	17, 18	syl 16	. . . . 5
20	15, 19	eqtr4d 2501	. . . 4
21	20	adantl 466	. . 3
22	8, 21	pm2.61dan 791	. 2
23	1, 22	syl 16	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  A.wral 2807  E.wrex 2808  E!wreu 2809  {crab 2811  c0 3784  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  Orwor 4804  iota_crio 6256  supcsup 7920

This theorem is referenced by:  eqsup  7936  supcl  7938  supub  7939  suplub  7940  fisupcl  7948  toslub  27656  tosglb  27658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-po 4805  df-so 4806  df-iota 5556  df-riota 6257  df-sup 7921