Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrun Unicode version

Theorem supxrun 11536
 Description: The supremum of the union of two sets of extended reals equals the largest of their suprema. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrun

Proof of Theorem supxrun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unss 3677 . . . 4
21biimpi 194 . . 3
323adant3 1016 . 2
4 supxrcl 11535 . . 3
543ad2ant2 1018 . 2
6 elun 3644 . . . 4
7 xrltso 11376 . . . . . . . . 9
87a1i 11 . . . . . . . 8
9 xrsupss 11529 . . . . . . . 8
108, 9supub 7939 . . . . . . 7
11103ad2ant1 1017 . . . . . 6
12 supxrcl 11535 . . . . . . . . . . . . 13
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
144ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12
15 ssel2 3498 . . . . . . . . . . . . 13
1615adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12
17 xrlelttr 11388 . . . . . . . . . . . 12
1813, 14, 16, 17syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
1918expdimp 437 . . . . . . . . . 10
2019con3d 133 . . . . . . . . 9
2120exp41 610 . . . . . . . 8
2221com34 83 . . . . . . 7
23223imp 1190 . . . . . 6
2411, 23mpdd 40 . . . . 5
257a1i 11 . . . . . . 7
26 xrsupss 11529 . . . . . . 7
2725, 26supub 7939 . . . . . 6
28273ad2ant2 1018 . . . . 5
2924, 28jaod 380 . . . 4
306, 29syl5bi 217 . . 3
3130ralrimiv 2869 . 2
32 rexr 9660 . . . . . . 7
33 xrsupss 11529 . . . . . . . 8
3425, 33suplub 7940 . . . . . . 7
3532, 34sylani 654 . . . . . 6
36 elun2 3671 . . . . . . . 8
3736anim1i 568 . . . . . . 7
3837reximi2 2924 . . . . . 6
3935, 38syl6 33 . . . . 5
4039expd 436 . . . 4
4140ralrimiv 2869 . . 3
42413ad2ant2 1018 . 2
43 supxr 11533 . 2
443, 5, 31, 42, 43syl22anc 1229 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  u.cun 3473  C_wss 3475   class class class wbr 4452  Orwor 4804  supcsup 7920   cr 9512   cxr 9648   clt 9649   cle 9650 This theorem is referenced by:  supxrmnf  11538  xpsdsval  20884 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831
 Copyright terms: Public domain W3C validator