MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrunb1 Unicode version

Theorem supxrunb1 11540
Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrunb1
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem supxrunb1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3497 . . . . . . . 8
2 pnfnlt 11366 . . . . . . . 8
31, 2syl6 33 . . . . . . 7
43ralrimiv 2869 . . . . . 6
54adantr 465 . . . . 5
6 peano2re 9774 . . . . . . . . . . . . 13
7 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
87rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . 16
98rspcva 3208 . . . . . . . . . . . . . . 15
109adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14
1110ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13
126, 11sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12
13 ssel2 3498 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14 ltp1 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
166ancli 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17 rexr 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
18 rexr 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
19 xrltletr 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2018, 19syl3an2 1262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2117, 20syl3an1 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
22213expa 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2316, 22sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2415, 23mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2524ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2613, 25sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15
2726an32s 804 . . . . . . . . . . . . . 14
2827reximdva 2932 . . . . . . . . . . . . 13
2928adantll 713 . . . . . . . . . . . 12
3012, 29mpd 15 . . . . . . . . . . 11
3130exp31 604 . . . . . . . . . 10
3231a1dd 46 . . . . . . . . 9
3332com4r 86 . . . . . . . 8
3433com13 80 . . . . . . 7
3534imp 429 . . . . . 6
3635ralrimiv 2869 . . . . 5
375, 36jca 532 . . . 4
38 pnfxr 11350 . . . . 5
39 supxr 11533 . . . . 5
4038, 39mpanl2 681 . . . 4
4137, 40syldan 470 . . 3
4241ex 434 . 2
43 rexr 9660 . . . . . . 7
4443ad2antlr 726 . . . . . 6
45 ltpnf 11360 . . . . . . . . 9
46 breq2 4456 . . . . . . . . 9
4745, 46syl5ibr 221 . . . . . . . 8
4847impcom 430 . . . . . . 7
4948adantll 713 . . . . . 6
50 xrltso 11376 . . . . . . . 8
5150a1i 11 . . . . . . 7
52 xrsupss 11529 . . . . . . . 8
5352ad2antrr 725 . . . . . . 7
5451, 53suplub 7940 . . . . . 6
5544, 49, 54mp2and 679 . . . . 5
5655ex 434 . . . 4
5743ad2antlr 726 . . . . . 6
5813adantlr 714 . . . . . 6
59 xrltle 11384 . . . . . 6
6057, 58, 59syl2anc 661 . . . . 5
6160reximdva 2932 . . . 4
6256, 61syld 44 . . 3
6362ralrimdva 2875 . 2
6442, 63impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   class class class wbr 4452  Orwor 4804  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cr 9512  1c1 9514   caddc 9516   cpnf 9646   cxr 9648   clt 9649   cle 9650
This theorem is referenced by:  supxrbnd1  11542  uzsup  11990  limsupval2  13303  limsupbnd2  13306  rlimuni  13373  rlimcld2  13401  rlimno1  13476  esumcvg  28092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831
  Copyright terms: Public domain W3C validator