Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrunb2 Unicode version

Theorem supxrunb2 11541
 Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrunb2
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem supxrunb2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3497 . . . . . . . 8
2 pnfnlt 11366 . . . . . . . 8
31, 2syl6 33 . . . . . . 7
43ralrimiv 2869 . . . . . 6
54adantr 465 . . . . 5
6 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . 15
76rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . 14
87rspcva 3208 . . . . . . . . . . . . 13
98adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12
109ancoms 453 . . . . . . . . . . 11
1110exp31 604 . . . . . . . . . 10
1211a1dd 46 . . . . . . . . 9
1312com4r 86 . . . . . . . 8
1413com13 80 . . . . . . 7
1514imp 429 . . . . . 6
1615ralrimiv 2869 . . . . 5
175, 16jca 532 . . . 4
18 pnfxr 11350 . . . . 5
19 supxr 11533 . . . . 5
2018, 19mpanl2 681 . . . 4
2117, 20syldan 470 . . 3
2221ex 434 . 2
23 rexr 9660 . . . . . . 7
2423ad2antlr 726 . . . . . 6
25 ltpnf 11360 . . . . . . . . 9
26 breq2 4456 . . . . . . . . 9
2725, 26syl5ibr 221 . . . . . . . 8
2827impcom 430 . . . . . . 7
2928adantll 713 . . . . . 6
30 xrltso 11376 . . . . . . . 8
3130a1i 11 . . . . . . 7
32 xrsupss 11529 . . . . . . . 8
3332ad2antrr 725 . . . . . . 7
3431, 33suplub 7940 . . . . . 6
3524, 29, 34mp2and 679 . . . . 5
3635exp31 604 . . . 4
3736com23 78 . . 3
3837ralrimdv 2873 . 2
3922, 38impbid 191 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   class class class wbr 4452  Orwor 4804  supcsup 7920   cr 9512   cpnf 9646   cxr 9648   clt 9649 This theorem is referenced by:  supxrbnd2  11543  supxrbnd  11549 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831
 Copyright terms: Public domain W3C validator