Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swoer Unicode version

Theorem swoer 7358
 Description: Incomparability under a strict weak partial order is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
swoer.1
swoer.2
swoer.3
Assertion
Ref Expression
swoer
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem swoer
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swoer.1 . . . . 5
2 difss 3630 . . . . 5
31, 2eqsstri 3533 . . . 4
4 relxp 5115 . . . 4
5 relss 5095 . . . 4
63, 4, 5mp2 9 . . 3
76a1i 11 . 2
8 simpr 461 . . 3
9 orcom 387 . . . . . 6
109a1i 11 . . . . 5
1110notbid 294 . . . 4
123ssbri 4494 . . . . . . 7
1312adantl 466 . . . . . 6
14 brxp 5035 . . . . . 6
1513, 14sylib 196 . . . . 5
161brdifun 7357 . . . . 5
1715, 16syl 16 . . . 4
1815simprd 463 . . . . 5
1915simpld 459 . . . . 5
201brdifun 7357 . . . . 5
2118, 19, 20syl2anc 661 . . . 4
2211, 17, 213bitr4d 285 . . 3
238, 22mpbid 210 . 2
24 simprl 756 . . . . 5
2512ad2antrl 727 . . . . . . 7
2614simplbi 460 . . . . . . 7
2725, 26syl 16 . . . . . 6
2814simprbi 464 . . . . . . 7
2925, 28syl 16 . . . . . 6
3027, 29, 16syl2anc 661 . . . . 5
3124, 30mpbid 210 . . . 4
32 simprr 757 . . . . 5
333brel 5053 . . . . . . . 8
3433simprd 463 . . . . . . 7
3532, 34syl 16 . . . . . 6
361brdifun 7357 . . . . . 6
3729, 35, 36syl2anc 661 . . . . 5
3832, 37mpbid 210 . . . 4
39 simpl 457 . . . . . . 7
40 swoer.3 . . . . . . . 8
4140swopolem 4814 . . . . . . 7
4239, 27, 35, 29, 41syl13anc 1230 . . . . . 6
4340swopolem 4814 . . . . . . . 8
4439, 35, 27, 29, 43syl13anc 1230 . . . . . . 7
45 orcom 387 . . . . . . 7
4644, 45syl6ibr 227 . . . . . 6
4742, 46orim12d 838 . . . . 5
48 or4 528 . . . . 5
4947, 48syl6ib 226 . . . 4
5031, 38, 49mtord 660 . . 3
511brdifun 7357 . . . 4
5227, 35, 51syl2anc 661 . . 3
5350, 52mpbird 232 . 2
54 swoer.2 . . . . . . 7
5554, 40swopo 4815 . . . . . 6
56 poirr 4816 . . . . . 6
5755, 56sylan 471 . . . . 5
58 pm1.2 513 . . . . 5
5957, 58nsyl 121 . . . 4
60 simpr 461 . . . . 5
611brdifun 7357 . . . . 5
6260, 60, 61syl2anc 661 . . . 4
6359, 62mpbird 232 . . 3
643ssbri 4494 . . . . 5
65 brxp 5035 . . . . . 6
6665simplbi 460 . . . . 5
6764, 66syl 16 . . . 4
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475   class class class wbr 4452  Powpo 4803  X.cxp 5002  'ccnv 5003  Relwrel 5009  Er`wer 7327 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-po 4805  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-er 7330