MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd0 Unicode version

Theorem swrd0 12658
Description: A subword of an empty set is always the empty set. (Contributed by AV, 31-Mar-2018.) (Revised by AV, 20-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrd0

Proof of Theorem swrd0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxp 5034 . . . 4
2 opelxp 5034 . . . . 5
3 swrdval 12644 . . . . . . 7
4 fzonlt0 11848 . . . . . . . . . . . . . . 15
54biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . 14
65con2d 115 . . . . . . . . . . . . 13
76impcom 430 . . . . . . . . . . . 12
8 ss0 3816 . . . . . . . . . . . 12
97, 8nsyl 121 . . . . . . . . . . 11
10 dm0 5221 . . . . . . . . . . . . 13
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
1211sseq2d 3531 . . . . . . . . . . 11
139, 12mtbird 301 . . . . . . . . . 10
1413iffalsed 3952 . . . . . . . . 9
15 0ss 3814 . . . . . . . . . . . . 13
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
174biimpac 486 . . . . . . . . . . . 12
1810a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
1916, 17, 183sstr4d 3546 . . . . . . . . . . 11
2019iftrued 3949 . . . . . . . . . 10
21 df-mpt 4512 . . . . . . . . . . . 12
22 df-opab 4511 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22eqtri 2486 . . . . . . . . . . 11
24 noel 3788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
26 zre 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
27 zre 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
28 posdif 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2926, 27, 28syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3029biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3130con3d 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3231impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
33 zsubcl 10931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3433ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
35 0z 10900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3634, 35jctil 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
38 fzonlt0 11848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4032, 39mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4125, 40neleqtrrd 2570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4241intnanrd 917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4342intnand 916 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4443alrimivv 1720 . . . . . . . . . . . . . . 15
45 2nexaln 1651 . . . . . . . . . . . . . . 15
4644, 45sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14
4746pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . 13
4847abssdv 3573 . . . . . . . . . . . 12
49 ss0 3816 . . . . . . . . . . . 12
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . . 11
5123, 50syl5eq 2510 . . . . . . . . . 10
5220, 51eqtrd 2498 . . . . . . . . 9
5314, 52pm2.61ian 790 . . . . . . . 8
54533adant1 1014 . . . . . . 7
553, 54eqtrd 2498 . . . . . 6
56553expb 1197 . . . . 5
572, 56sylan2b 475 . . . 4
581, 57sylbi 195 . . 3
59 df-substr 12546 . . . 4
60 ovex 6324 . . . . . 6
6160mptex 6143 . . . . 5
62 0ex 4582 . . . . 5
6361, 62ifex 4010 . . . 4
6459, 63dmmpt2 6870 . . 3
6558, 64eleq2s 2565 . 2
66 df-ov 6299 . . 3
67 ndmfv 5895 . . 3
6866, 67syl5eq 2510 . 2
6965, 68pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  <.cop 4035   class class class wbr 4452  {copab 4509  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296   c1st 6798   c2nd 6799   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   clt 9649   cmin 9828   cz 10889   cfzo 11824   csubstr 12538
This theorem is referenced by:  cshword  12762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-substr 12546
  Copyright terms: Public domain W3C validator