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Theorem swrdccat3 12717
Description: The subword of a concatenation is either a subword of the first concatenated word or a subword of the second concatenated word or a concatenation of a suffix of the first word with a prefix of the second word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 28-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin12.l
Assertion
Ref Expression
swrdccat3

Proof of Theorem swrdccat3
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . 4
2 simplrl 761 . . . . 5
3 lencl 12562 . . . . . . . . 9
4 elfznn0 11800 . . . . . . . . . . . . . 14
54adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
65adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
7 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12
8 swrdccatin12.l . . . . . . . . . . . . . . 15
98breq2i 4460 . . . . . . . . . . . . . 14
109biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13
1110adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
12 elfz2nn0 11798 . . . . . . . . . . . 12
136, 7, 11, 12syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . 11
1413exp31 604 . . . . . . . . . 10
1514adantl 466 . . . . . . . . 9
163, 15syl5com 30 . . . . . . . 8
1716adantr 465 . . . . . . 7
1817imp 429 . . . . . 6
1918imp 429 . . . . 5
202, 19jca 532 . . . 4
21 swrdccatin1 12708 . . . 4
221, 20, 21sylc 60 . . 3
23 simp1l 1020 . . . 4
248eleq1i 2534 . . . . . . . . . . 11
25 elfz2nn0 11798 . . . . . . . . . . . . . 14
26 nn0z 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28 nn0z 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
29283ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
31 nn0z 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
32313ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3427, 30, 333jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
36 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3736anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3837ancomd 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
39 elfz2 11708 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4035, 38, 39sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . 15
4140exp31 604 . . . . . . . . . . . . . 14
4225, 41sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13
4342adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
4443com12 31 . . . . . . . . . . 11
4524, 44sylbir 213 . . . . . . . . . 10
463, 45syl 16 . . . . . . . . 9
4746adantr 465 . . . . . . . 8
4847imp 429 . . . . . . 7
4948a1d 25 . . . . . 6
50493imp 1190 . . . . 5
51 elfz2nn0 11798 . . . . . . . . . . . 12
52 nn0z 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
538, 52syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5554adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
56 nn0z 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
57563ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5857adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
59283ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6059adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
6155, 58, 603jca 1176 . . . . . . . . . . . . . 14
628eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6362eleq1i 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
64 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
65 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
66 ltnle 9685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6764, 65, 66syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6867bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
69 ltle 9694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7064, 65, 69syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7168, 70sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7271ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7363, 72syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
74733ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7574imp32 433 . . . . . . . . . . . . . . 15
76 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . . . 15
7775, 76jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14
78 elfz2 11708 . . . . . . . . . . . . . 14
7961, 77, 78sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . 13
8079exp32 605 . . . . . . . . . . . 12
8151, 80sylbi 195 . . . . . . . . . . 11
8281adantl 466 . . . . . . . . . 10
833, 82syl5com 30 . . . . . . . . 9
8483adantr 465 . . . . . . . 8
8584imp 429 . . . . . . 7
8685a1dd 46 . . . . . 6
87863imp 1190 . . . . 5
8850, 87jca 532 . . . 4
898swrdccatin2 12712 . . . 4
9023, 88, 89sylc 60 . . 3
91 simp1l 1020 . . . 4
92 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9392adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
94 ltnle 9685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9593, 64, 94syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9695bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16
97 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
98 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
99 ltle 9694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10092, 64, 99syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
101100imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
102 elfz2nn0 11798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10397, 98, 101, 102syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
104103exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105104adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
106105impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10796, 106sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15
108107expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14
1091083adant3 1016 . . . . . . . . . . . . 13
11025, 109sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12
11163, 110syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11
112111adantr 465 . . . . . . . . . 10
1133, 112syl5com 30 . . . . . . . . 9
114113adantr 465 . . . . . . . 8
115114imp 429 . . . . . . 7
116115a1d 25 . . . . . 6
1171163imp 1190 . . . . 5
118653ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11966bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12064, 118, 119syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12126adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12257adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12359adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
124121, 122, 1233jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125124adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12664, 118, 69syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
127126imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
128 simplr3 1040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
129127, 128jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130125, 129, 78sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
131130ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16
132120, 131sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15
133132ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14
13463, 133sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13
1353, 134syl 16 . . . . . . . . . . . 12
136135adantr 465 . . . . . . . . . . 11
137136com12 31 . . . . . . . . . 10
13851, 137sylbi 195 . . . . . . . . 9
139138adantl 466 . . . . . . . 8
140139impcom 430 . . . . . . 7
141140a1dd 46 . . . . . 6
1421413imp 1190 . . . . 5
143117, 142jca 532 . . . 4
1448swrdccatin12 12716 . . . 4
14591, 143, 144sylc 60 . . 3
14622, 90, 1452if2 3989 . 2
147146ex 434 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  ifcif 3941  <.cop 4035   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cn0 10820   cz 10889   cfz 11701   chash 12405  Wordcword 12534   cconcat 12536   csubstr 12538
This theorem is referenced by:  swrdccat  12718  swrdccat3a  12719  swrdccat3b  12721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-hash 12406  df-word 12542  df-concat 12544  df-substr 12546
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