Theorem swrdccat3 12717

Description: The subword of a concatenation is either a subword of the first concatenated word or a subword of the second concatenated word or a concatenation of a suffix of the first word with a prefix of the second word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 28-May-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin12.l

Assertion

Ref	Expression
swrdccat3

Proof of Theorem swrdccat3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 753	. . . 4
2		simplrl 761	. . . . 5
3		lencl 12562	. . . . . . . . 9
4		elfznn0 11800	. . . . . . . . . . . . . 14
5	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
6	5	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
7		simplr 755	. . . . . . . . . . . 12
8		swrdccatin12.l	. . . . . . . . . . . . . . 15
9	8	breq2i 4460	. . . . . . . . . . . . . 14
10	9	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . 13
11	10	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
12		elfz2nn0 11798	. . . . . . . . . . . 12
13	6, 7, 11, 12	syl3anbrc 1180	. . . . . . . . . . 11
14	13	exp31 604	. . . . . . . . . 10
15	14	adantl 466	. . . . . . . . 9
16	3, 15	syl5com 30	. . . . . . . 8
17	16	adantr 465	. . . . . . 7
18	17	imp 429	. . . . . 6
19	18	imp 429	. . . . 5
20	2, 19	jca 532	. . . 4
21		swrdccatin1 12708	. . . 4
22	1, 20, 21	sylc 60	. . 3
23		simp1l 1020	. . . 4
24	8	eleq1i 2534	. . . . . . . . . . 11
25		elfz2nn0 11798	. . . . . . . . . . . . . 14
26		nn0z 10912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
27	26	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28		nn0z 10912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
29	28	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
30	29	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
31		nn0z 10912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
32	31	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33	32	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34	27, 30, 33	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
35	34	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36		simpl3 1001	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
37	36	anim1i 568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
38	37	ancomd 451	. . . . . . . . . . . . . . . 16
39		elfz2 11708	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	35, 38, 39	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	exp31 604	. . . . . . . . . . . . . 14
42	25, 41	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . 13
43	42	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
44	43	com12 31	. . . . . . . . . . 11
45	24, 44	sylbir 213	. . . . . . . . . 10
46	3, 45	syl 16	. . . . . . . . 9
47	46	adantr 465	. . . . . . . 8
48	47	imp 429	. . . . . . 7
49	48	a1d 25	. . . . . 6
50	49	3imp 1190	. . . . 5
51		elfz2nn0 11798	. . . . . . . . . . . 12
52		nn0z 10912	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53	8, 52	syl5eqel 2549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
54	53	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16
55	54	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15
56		nn0z 10912	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
57	56	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58	57	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15
59	28	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . . 16
60	59	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15
61	55, 58, 60	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . . 14
62	8	eqcomi 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
63	62	eleq1i 2534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
64		nn0re 10829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
65		nn0re 10829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
66		ltnle 9685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
67	64, 65, 66	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
68	67	bicomd 201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
69		ltle 9694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
70	64, 65, 69	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
71	68, 70	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
72	71	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
73	63, 72	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
74	73	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	74	imp32 433	. . . . . . . . . . . . . . 15
76		simpl3 1001	. . . . . . . . . . . . . . 15
77	75, 76	jca 532	. . . . . . . . . . . . . 14
78		elfz2 11708	. . . . . . . . . . . . . 14
79	61, 77, 78	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . 13
80	79	exp32 605	. . . . . . . . . . . 12
81	51, 80	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11
82	81	adantl 466	. . . . . . . . . 10
83	3, 82	syl5com 30	. . . . . . . . 9
84	83	adantr 465	. . . . . . . 8
85	84	imp 429	. . . . . . 7
86	85	a1dd 46	. . . . . 6
87	86	3imp 1190	. . . . 5
88	50, 87	jca 532	. . . 4
89	8	swrdccatin2 12712	. . . 4
90	23, 88, 89	sylc 60	. . 3
91		simp1l 1020	. . . 4
92		nn0re 10829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93	92	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
94		ltnle 9685	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
95	93, 64, 94	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
96	95	bicomd 201	. . . . . . . . . . . . . . . 16
97		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
98		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
99		ltle 9694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
100	92, 64, 99	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
101	100	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
102		elfz2nn0 11798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
103	97, 98, 101, 102	syl3anbrc 1180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
104	103	exp31 604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105	104	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
106	105	impcom 430	. . . . . . . . . . . . . . . 16
107	96, 106	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . 15
108	107	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . 14
109	108	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . . 13
110	25, 109	sylbi 195	. . . . . . . . . . . 12
111	63, 110	syl5bi 217	. . . . . . . . . . 11
112	111	adantr 465	. . . . . . . . . 10
113	3, 112	syl5com 30	. . . . . . . . 9
114	113	adantr 465	. . . . . . . 8
115	114	imp 429	. . . . . . 7
116	115	a1d 25	. . . . . 6
117	116	3imp 1190	. . . . 5
118	65	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
119	66	bicomd 201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
120	64, 118, 119	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16
121	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
122	57	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
123	59	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
124	121, 122, 123	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125	124	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
126	64, 118, 69	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
127	126	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
128		simplr3 1040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
129	127, 128	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130	125, 129, 78	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
131	130	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . 16
132	120, 131	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . 15
133	132	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14
134	63, 133	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . 13
135	3, 134	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
136	135	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
137	136	com12 31	. . . . . . . . . 10
138	51, 137	sylbi 195	. . . . . . . . 9
139	138	adantl 466	. . . . . . . 8
140	139	impcom 430	. . . . . . 7
141	140	a1dd 46	. . . . . 6
142	141	3imp 1190	. . . . 5
143	117, 142	jca 532	. . . 4
144	8	swrdccatin12 12716	. . . 4
145	91, 143, 144	sylc 60	. . 3
146	22, 90, 145	2if2 3989	. 2
147	146	ex 434	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  ifcif 3941  <.cop 4035   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cr 9512  0cc0 9513  caddc 9516  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  cn0 10820  cz 10889  cfz 11701  chash 12405  Wordcword 12534  cconcat 12536  csubstr 12538

This theorem is referenced by:  swrdccat  12718  swrdccat3a  12719  swrdccat3b  12721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-hash 12406  df-word 12542  df-concat 12544  df-substr 12546