MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdccat3a Unicode version

Theorem swrdccat3a 12719
Description: A prefix of a concatenation is either a prefix of the first concatenated word or a concatenation of the first word with a prefix of the second word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 29-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin12.l
Assertion
Ref Expression
swrdccat3a

Proof of Theorem swrdccat3a
StepHypRef Expression
1 elfznn0 11800 . . . . . 6
2 0elfz 11802 . . . . . 6
31, 2syl 16 . . . . 5
43ancri 552 . . . 4
5 swrdccatin12.l . . . . . 6
65swrdccat3 12717 . . . . 5
76imp 429 . . . 4
84, 7sylan2 474 . . 3
9 iftrue 3947 . . . . 5
109adantl 466 . . . 4
11 iffalse 3950 . . . . . 6
12113ad2ant2 1018 . . . . 5
13 lencl 12562 . . . . . . . . . . . . 13
145, 13syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . 12
15 nn0le0eq0 10849 . . . . . . . . . . . 12
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11
1716biimpd 207 . . . . . . . . . 10
1817adantr 465 . . . . . . . . 9
195eqeq1i 2464 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2019biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15
21 hasheq0 12433 . . . . . . . . . . . . . . 15
2220, 21syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . 14
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
2423imp 429 . . . . . . . . . . . 12
25 0m0e0 10670 . . . . . . . . . . . . . . . 16
26 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2726eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2825, 27syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15
2928adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
3029opeq1d 4223 . . . . . . . . . . . . 13
3130oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
3224, 31oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11
33 swrdcl 12646 . . . . . . . . . . . . . 14
34 ccatlid 12603 . . . . . . . . . . . . . 14
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
3635adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
3736adantr 465 . . . . . . . . . . 11
3832, 37eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
3938ex 434 . . . . . . . . 9
4018, 39syld 44 . . . . . . . 8
4140adantr 465 . . . . . . 7
4241imp 429 . . . . . 6
43423adant2 1015 . . . . 5
4412, 43eqtrd 2498 . . . 4
45113ad2ant2 1018 . . . . 5
465opeq2i 4221 . . . . . . . . . . 11
4746oveq2i 6307 . . . . . . . . . 10
48 swrdid 12652 . . . . . . . . . 10
4947, 48syl5req 2511 . . . . . . . . 9
5049adantr 465 . . . . . . . 8
5150adantr 465 . . . . . . 7
52513ad2ant1 1017 . . . . . 6
5352oveq1d 6311 . . . . 5
5445, 53eqtrd 2498 . . . 4
5510, 44, 542if2 3989 . . 3
568, 55eqtr4d 2501 . 2
5756ex 434 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   c0 3784  ifcif 3941  <.cop 4035   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513   caddc 9516   cle 9650   cmin 9828   cn0 10820   cfz 11701   chash 12405  Wordcword 12534   cconcat 12536   csubstr 12538
This theorem is referenced by:  swrdccatid  12722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-hash 12406  df-word 12542  df-concat 12544  df-substr 12546
  Copyright terms: Public domain W3C validator