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Theorem swrdccat3blem 12720
Description: Lemma for swrdccat3b 12721. (Contributed by AV, 30-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin12.l
Assertion
Ref Expression
swrdccat3blem

Proof of Theorem swrdccat3blem
StepHypRef Expression
1 lencl 12562 . . . . . . . 8
2 nn0le0eq0 10849 . . . . . . . . 9
32biimpd 207 . . . . . . . 8
41, 3syl 16 . . . . . . 7
54adantl 466 . . . . . 6
6 hasheq0 12433 . . . . . . . . . . 11
76biimpd 207 . . . . . . . . . 10
87adantl 466 . . . . . . . . 9
98imp 429 . . . . . . . 8
10 lencl 12562 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11 swrdccatin12.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1211eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1312eleq1i 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15 elfz2nn0 11798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16 recn 9603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1716addid1d 9801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1817breq2d 4464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
19 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2019anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2120ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
22 letri3 9691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2423biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2524exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2625com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2718, 26sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2827com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2928impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
30293adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3130com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3215, 31syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3314, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3413, 33sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3510, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
3635imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14
37 elfznn0 11800 . . . . . . . . . . . . . . . 16
38 swrd00 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
39 swrd00 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4038, 39eqtr4i 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
41 nn0cn 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4241subidd 9942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4342opeq1d 4223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4443oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4541addid1d 9801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4645opeq2d 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4746oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4840, 44, 473eqtr4a 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5251opeq1d 4223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5352oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
54 opeq1 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5554oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5653, 55eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5749, 50, 563imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5857com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5958a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6037, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
6160impcom 430 . . . . . . . . . . . . . 14
6236, 61syld 44 . . . . . . . . . . . . 13
6362imp 429 . . . . . . . . . . . 12
64 swrdcl 12646 . . . . . . . . . . . . . . . 16
65 ccatrid 12604 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
6713, 41sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6810, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
69 addid1 9781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7069eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7168, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7271opeq2d 4224 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7372oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15
7466, 73eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14
7574adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
7675adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
7763, 76ifeqda 3974 . . . . . . . . . . 11
7877ex 434 . . . . . . . . . 10
7978ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9
80 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14
8180oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13
8281eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12
8382adantr 465 . . . . . . . . . . 11
84 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
85 opeq2 4218 . . . . . . . . . . . . . . 15
8685adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
8784, 86oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . 13
88 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14
8988adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
9087, 89ifeq12d 3961 . . . . . . . . . . . 12
9180opeq2d 4224 . . . . . . . . . . . . . 14
9291oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13
9392adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
9490, 93eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . 11
9583, 94imbi12d 320 . . . . . . . . . 10
9695adantll 713 . . . . . . . . 9
9779, 96mpbird 232 . . . . . . . 8
989, 97mpdan 668 . . . . . . 7
9998ex 434 . . . . . 6
1005, 99syld 44 . . . . 5
101100com23 78 . . . 4
102101imp 429 . . 3
103102adantr 465 . 2
10411eleq1i 2534 . . . . . . . 8
105104, 14sylbir 213 . . . . . . 7
10610, 105syl 16 . . . . . 6
1071nn0red 10878 . . . . . 6
108 leaddle0 10092 . . . . . 6
109106, 107, 108syl2an 477 . . . . 5
110 pm2.24 109 . . . . 5
111109, 110syl6bi 228 . . . 4
112111adantr 465 . . 3
113112imp 429 . 2
114103, 113pm2.61d 158 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   c0 3784  ifcif 3941  <.cop 4035   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   cle 9650   cmin 9828   cn0 10820   cfz 11701   chash 12405  Wordcword 12534   cconcat 12536   csubstr 12538
This theorem is referenced by:  swrdccat3b  12721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-hash 12406  df-word 12542  df-concat 12544  df-substr 12546
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