Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdccatid Unicode version

Theorem swrdccatid 12722
 Description: A prefix of a concatenation of length of the first concatenated word is the first word itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdccatid

Proof of Theorem swrdccatid
StepHypRef Expression
1 3simpa 993 . . 3
2 lencl 12562 . . . . 5
3 lencl 12562 . . . . . 6
4 simplr 755 . . . . . . . . 9
5 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
65adantl 466 . . . . . . . . 9
74, 6mpbird 232 . . . . . . . 8
8 nn0addcl 10856 . . . . . . . . . 10
98ancoms 453 . . . . . . . . 9
109adantr 465 . . . . . . . 8
11 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . 13
1211anim1i 568 . . . . . . . . . . . 12
1312ancoms 453 . . . . . . . . . . 11
14 nn0addge1 10867 . . . . . . . . . . 11
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . 10
1615adantr 465 . . . . . . . . 9
17 breq1 4455 . . . . . . . . . 10
1817adantl 466 . . . . . . . . 9
1916, 18mpbird 232 . . . . . . . 8
20 elfz2nn0 11798 . . . . . . . 8
217, 10, 19, 20syl3anbrc 1180 . . . . . . 7
2221exp31 604 . . . . . 6
233, 22syl 16 . . . . 5
242, 23syl5com 30 . . . 4
25243imp 1190 . . 3
26 eqid 2457 . . . 4
2726swrdccat3a 12719 . . 3
281, 25, 27sylc 60 . 2
292, 11syl 16 . . . . . 6
3029leidd 10144 . . . . 5
31303ad2ant1 1017 . . . 4
32 breq1 4455 . . . . 5
33323ad2ant3 1019 . . . 4
3431, 33mpbird 232 . . 3
3534iftrued 3949 . 2
36 swrdid 12652 . . . 4
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  ifcif 3941  <.cop 4035   class class class wbr 4452  cfv 5593  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   cle 9650   cmin 9828   cn0 10820   cfz 11701   chash 12405  Word`cword 12534   cconcat 12536   csubstr 12538 This theorem is referenced by:  ccats1swrdeqbi  12723  clwlkisclwwlk2  24790  clwlkfoclwwlk  24845  numclwlk1lem2foa  25091  numclwlk1lem2fo  25095 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-hash 12406  df-word 12542  df-concat 12544  df-substr 12546