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Theorem swrdccatin1 12708
Description: The subword of a concatenation of two words within the first of the concatenated words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdccatin1

Proof of Theorem swrdccatin1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . . . 7
21eleq2d 2527 . . . . . 6
3 elfz1eq 11726 . . . . . . 7
4 elfz1eq 11726 . . . . . . . . 9
5 swrd00 12645 . . . . . . . . . . 11
6 swrd00 12645 . . . . . . . . . . 11
75, 6eqtr4i 2489 . . . . . . . . . 10
8 opeq1 4217 . . . . . . . . . . 11
98oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
108oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
117, 9, 103eqtr4a 2524 . . . . . . . . 9
124, 11syl 16 . . . . . . . 8
13 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
1413eleq2d 2527 . . . . . . . . 9
15 opeq2 4218 . . . . . . . . . . 11
1615oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
1715oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
1816, 17eqeq12d 2479 . . . . . . . . 9
1914, 18imbi12d 320 . . . . . . . 8
2012, 19mpbiri 233 . . . . . . 7
213, 20syl 16 . . . . . 6
222, 21syl6bi 228 . . . . 5
2322com23 78 . . . 4
2423impd 431 . . 3
2524a1d 25 . 2
26 ccatcl 12593 . . . . . . . 8
2726adantl 466 . . . . . . 7
2827adantr 465 . . . . . 6
29 simprl 756 . . . . . 6
30 elfzelfzccat 12598 . . . . . . . . . 10
3130adantl 466 . . . . . . . . 9
3231com12 31 . . . . . . . 8
3332adantl 466 . . . . . . 7
3433impcom 430 . . . . . 6
35 swrdvalfn 12663 . . . . . 6
3628, 29, 34, 35syl3anc 1228 . . . . 5
37 3anass 977 . . . . . . . . 9
3837simplbi2 625 . . . . . . . 8
3938ad2antrl 727 . . . . . . 7
4039imp 429 . . . . . 6
41 swrdvalfn 12663 . . . . . 6
4240, 41syl 16 . . . . 5
43 simprl 756 . . . . . . . 8
4443ad2antrr 725 . . . . . . 7
45 simprr 757 . . . . . . . 8
4645ad2antrr 725 . . . . . . 7
47 elfzo0 11863 . . . . . . . . . 10
48 elfz2nn0 11798 . . . . . . . . . . . . . 14
49 nn0addcl 10856 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5049expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . 15
51503ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . 14
5248, 51sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13
5352ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12
5453com12 31 . . . . . . . . . . 11
55543ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
5647, 55sylbi 195 . . . . . . . . 9
5756impcom 430 . . . . . . . 8
58 lencl 12562 . . . . . . . . . . . 12
59 df-ne 2654 . . . . . . . . . . . . 13
60 elnnne0 10834 . . . . . . . . . . . . . 14
6160simplbi2 625 . . . . . . . . . . . . 13
6259, 61syl5bir 218 . . . . . . . . . . . 12
6358, 62syl 16 . . . . . . . . . . 11
6463adantr 465 . . . . . . . . . 10
6564impcom 430 . . . . . . . . 9
6665ad2antrr 725 . . . . . . . 8
67 elfz2nn0 11798 . . . . . . . . . . . . . . . 16
68 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6968ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
70 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7170adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7271adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
73 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7473ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7569, 72, 74ltaddsubd 10177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
76 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7749, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7877adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
79 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8079adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8180adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
82 ltletr 9697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8378, 74, 81, 82syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8483expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8575, 84sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8685ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8786com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
88873impia 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8988com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9089impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
91903adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9291com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9367, 92sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15
9493com12 31 . . . . . . . . . . . . . 14
95943ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . 13
9648, 95sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12
9796a1i 11 . . . . . . . . . . 11
9897imp32 433 . . . . . . . . . 10
9947, 98syl5bi 217 . . . . . . . . 9
10099imp 429 . . . . . . . 8
101 elfzo0 11863 . . . . . . . 8
10257, 66, 100, 101syl3anbrc 1180 . . . . . . 7
103 ccatval1 12595 . . . . . . 7
10444, 46, 102, 103syl3anc 1228 . . . . . 6
10527ad2antrr 725 . . . . . . . 8
10629adantr 465 . . . . . . . 8
10734adantr 465 . . . . . . . 8
108105, 106, 1073jca 1176 . . . . . . 7
109 swrdfv 12651 . . . . . . 7
110108, 109sylancom 667 . . . . . 6
111 swrdfv 12651 . . . . . . 7
11240, 111sylan 471 . . . . . 6
113104, 110, 1123eqtr4d 2508 . . . . 5
11436, 42, 113eqfnfvd 5984 . . . 4
115114ex 434 . . 3
116115ex 434 . 2
11725, 116pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   c0 3784  <.cop 4035   class class class wbr 4452  Fnwfn 5588  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cn 10561   cn0 10820   cfz 11701   cfzo 11824   chash 12405  Wordcword 12534   cconcat 12536   csubstr 12538
This theorem is referenced by:  swrdccat3  12717  swrdccatin1d  12724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-hash 12406  df-word 12542  df-concat 12544  df-substr 12546
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