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Theorem swrdccatin12lem2 12714
Description: Lemma 2 for swrdccatin12 12716. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin12.l
Assertion
Ref Expression
swrdccatin12lem2

Proof of Theorem swrdccatin12lem2
StepHypRef Expression
1 swrdccatin12.l . . . . . 6
21swrdccatin12lem2c 12713 . . . . 5
32adantr 465 . . . 4
4 simprl 756 . . . 4
5 swrdfv 12651 . . . 4
63, 4, 5syl2anc 661 . . 3
7 elfzoelz 11829 . . . . . . . 8
8 elfz2nn0 11798 . . . . . . . . . . 11
9 nn0cn 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10 nn0cn 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
119, 10anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12 zcn 10894 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13 subcl 9842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1413ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1514anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1615ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17 subcl 9842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1918addid1d 9801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
20 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
22 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2320, 21, 22subsub3d 9984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2419, 23eqtr2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2511, 12, 24syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15
26 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2726eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2827eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . 15
2925, 28syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . 14
301, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
3130ex 434 . . . . . . . . . . . 12
32313adant3 1016 . . . . . . . . . . 11
338, 32sylbi 195 . . . . . . . . . 10
3433adantr 465 . . . . . . . . 9
3534adantl 466 . . . . . . . 8
367, 35syl5com 30 . . . . . . 7
3736adantr 465 . . . . . 6
3837impcom 430 . . . . 5
3938fveq2d 5875 . . . 4
40 simpll 753 . . . . . 6
41 swrdccatin12lem2a 12710 . . . . . . . . 9
4241adantl 466 . . . . . . . 8
4342imp 429 . . . . . . 7
44 id 22 . . . . . . . . . . 11
45 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11
4644, 45oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10
4746eleq2d 2527 . . . . . . . . 9
4847eqcoms 2469 . . . . . . . 8
491, 48ax-mp 5 . . . . . . 7
5043, 49sylibr 212 . . . . . 6
51 df-3an 975 . . . . . 6
5240, 50, 51sylanbrc 664 . . . . 5
53 ccatval2 12596 . . . . 5
5452, 53syl 16 . . . 4
55 simplr 755 . . . . . 6
5655adantr 465 . . . . 5
57 elfz2 11708 . . . . . . . . . 10
58 zsubcl 10931 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5958ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6059adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
61 zre 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
62 zre 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
63 subge0 10090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6461, 62, 63syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6564biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6665imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16
67 elnn0z 10902 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6860, 66, 67sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . 15
6968expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14
7069adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
7170com12 31 . . . . . . . . . . . 12
72713adant2 1015 . . . . . . . . . . 11
7372imp 429 . . . . . . . . . 10
7457, 73sylbi 195 . . . . . . . . 9
7574adantl 466 . . . . . . . 8
76 0elfz 11802 . . . . . . . 8
7775, 76syl 16 . . . . . . 7
7877adantl 466 . . . . . 6
7978adantr 465 . . . . 5
80 lencl 12562 . . . . . . . . 9
81 elfzel2 11715 . . . . . . . . . . 11
8270expcomd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8382com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
84833ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8584imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8685com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8887imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16
89 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16
90613ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9190adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9262adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9392adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
94 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9594adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9695adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9791, 93, 963jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
98 lesubadd2 10050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9998biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10097, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
101100ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
102101com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103102adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
104103impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
105104impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10688, 89, 1053jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . 15
107106ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14
108 elfz2nn0 11798 . . . . . . . . . . . . . 14
109107, 57, 1083imtr4g 270 . . . . . . . . . . . . 13
110109ex 434 . . . . . . . . . . . 12
111110com23 78 . . . . . . . . . . 11
11281, 111syl 16 . . . . . . . . . 10
113112imp 429 . . . . . . . . 9
11480, 113syl5com 30 . . . . . . . 8
115114adantl 466 . . . . . . 7
116115imp 429 . . . . . 6
117116adantr 465 . . . . 5
118 swrdccatin12lem2b 12711 . . . . . . 7
119118adantl 466 . . . . . 6
120119imp 429 . . . . 5
121 swrdfv 12651 . . . . 5
12256, 79, 117, 120, 121syl31anc 1231 . . . 4
12339, 54, 1223eqtr4d 2508 . . 3
124 simpll 753 . . . . . . . . 9
125 simprl 756 . . . . . . . . 9
126 lencl 12562 . . . . . . . . . . . 12
127 elnn0uz 11147 . . . . . . . . . . . . . 14
128 eluzfz2 11723 . . . . . . . . . . . . . 14
129127, 128sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13
1301, 129syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . 12
131126, 130syl 16 . . . . . . . . . . 11
132131adantr 465 . . . . . . . . . 10
133132adantr 465 . . . . . . . . 9
134124, 125, 1333jca 1176 . . . . . . . 8
135134adantr 465 . . . . . . 7
136 swrdlen 12650 . . . . . . 7
137135, 136syl 16 . . . . . 6
138137eqcomd 2465 . . . . 5
139138oveq2d 6312 . . . 4
140139fveq2d 5875 . . 3
1416, 123, 1403eqtrd 2502 . 2
142141ex 434 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  <.cop 4035   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   cle 9650   cmin 9828   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701   cfzo 11824   chash 12405  Wordcword 12534   cconcat 12536   csubstr 12538
This theorem is referenced by:  swrdccatin12  12716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-hash 12406  df-word 12542  df-concat 12544  df-substr 12546
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