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Theorem swrdccatin12lem3 12715
Description: Lemma 3 for swrdccatin12 12716. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin12.l
Assertion
Ref Expression
swrdccatin12lem3

Proof of Theorem swrdccatin12lem3
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . . 5
2 elfzo0 11863 . . . . . . . . 9
3 swrdccatin12.l . . . . . . . . . . . . 13
4 lencl 12562 . . . . . . . . . . . . 13
5 elfz2nn0 11798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6 nn0addcl 10856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
76ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
873ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
98com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1093ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1110imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
12 elnnz 10899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
13 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
14 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
15 posdif 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1613, 14, 15syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
17 elnn0z 10902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
18 0red 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
19 zre 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2114adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
22 lelttr 9696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2318, 20, 21, 22syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
24 nn0z 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2524anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
26 elnnz 10899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2725, 26sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2827ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2928adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3023, 29syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3130expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3231impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3317, 32sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3433imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3516, 34sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3635com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3812, 37sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
39383ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4039com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
41403adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4241imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
43 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
45133ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
47143ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4944, 46, 48ltaddsubd 10177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5049exbiri 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5150com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5251imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
53523adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5453impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5511, 42, 543jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5655ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5756a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
585, 57sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5958imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6059a1ii 27 . . . . . . . . . . . . . . 15
61 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . 15
62 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
63 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6462, 633anbi23d 1302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6564imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6665imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . 15
6760, 61, 663imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . . 14
6867eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . 13
693, 4, 68mpsyl 63 . . . . . . . . . . . 12
7069adantr 465 . . . . . . . . . . 11
7170imp 429 . . . . . . . . . 10
7271com12 31 . . . . . . . . 9
732, 72sylbi 195 . . . . . . . 8
7473adantl 466 . . . . . . 7
7574impcom 430 . . . . . 6
76 elfzo0 11863 . . . . . 6
7775, 76sylibr 212 . . . . 5
78 df-3an 975 . . . . 5
791, 77, 78sylanbrc 664 . . . 4
80 ccatval1 12595 . . . 4
8179, 80syl 16 . . 3
823swrdccatin12lem2c 12713 . . . . 5
8382adantr 465 . . . 4
84 simprl 756 . . . 4
85 swrdfv 12651 . . . 4
8683, 84, 85syl2anc 661 . . 3
87 simpll 753 . . . . 5
8887adantr 465 . . . 4
89 simprl 756 . . . . 5
9089adantr 465 . . . 4
913eleq1i 2534 . . . . . . 7
92 elnn0uz 11147 . . . . . . . . 9
93 eluzfz2 11723 . . . . . . . . 9
9492, 93sylbi 195 . . . . . . . 8
953eqcomi 2470 . . . . . . . . 9
9695oveq2i 6307 . . . . . . . 8
9794, 96syl6eleqr 2556 . . . . . . 7
9891, 97sylbir 213 . . . . . 6
994, 98syl 16 . . . . 5
10099ad3antrrr 729 . . . 4
101 simprr 757 . . . 4
102 swrdfv 12651 . . . 4
10388, 90, 100, 101, 102syl31anc 1231 . . 3
10481, 86, 1033eqtr4d 2508 . 2
105104ex 434 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  <.cop 4035   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701   cfzo 11824   chash 12405  Wordcword 12534   cconcat 12536   csubstr 12538
This theorem is referenced by:  swrdccatin12  12716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-hash 12406  df-word 12542  df-concat 12544  df-substr 12546
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