MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdcl Unicode version

Theorem swrdcl 12646
Description: Closure of the subword extractor. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
swrdcl

Proof of Theorem swrdcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2529 . 2
2 n0 3794 . . . 4
3 df-substr 12546 . . . . . . 7
43elmpt2cl2 6519 . . . . . 6
5 opelxp 5034 . . . . . 6
64, 5sylib 196 . . . . 5
76exlimiv 1722 . . . 4
82, 7sylbi 195 . . 3
9 swrdval 12644 . . . . 5
10 wrdf 12553 . . . . . . . . . . 11
11103ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
1211ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
13 simplr 755 . . . . . . . . . . 11
14 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
15 simpll3 1037 . . . . . . . . . . . 12
16 simpll2 1036 . . . . . . . . . . . 12
17 fzoaddel2 11874 . . . . . . . . . . . 12
1814, 15, 16, 17syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
1913, 18sseldd 3504 . . . . . . . . . 10
20 fdm 5740 . . . . . . . . . . 11
2112, 20syl 16 . . . . . . . . . 10
2219, 21eleqtrd 2547 . . . . . . . . 9
2312, 22ffvelrnd 6032 . . . . . . . 8
24 eqid 2457 . . . . . . . 8
2523, 24fmptd 6055 . . . . . . 7
26 iswrdi 12552 . . . . . . 7
2725, 26syl 16 . . . . . 6
28 wrd0 12565 . . . . . . 7
2928a1i 11 . . . . . 6
3027, 29ifclda 3973 . . . . 5
319, 30eqeltrd 2545 . . . 4
32313expb 1197 . . 3
338, 32sylan2 474 . 2
3428a1i 11 . 2
351, 33, 34pm2.61ne 2772 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  <.cop 4035  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  domcdm 5004  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   c1st 6798   c2nd 6799  0cc0 9513   caddc 9516   cmin 9828   cz 10889   cfzo 11824   chash 12405  Wordcword 12534   csubstr 12538
This theorem is referenced by:  swrdid  12652  swrdf  12653  addlenswrd  12662  swrd0fvlsw  12670  swrdeq  12671  swrdsymbeq  12672  swrdspsleq  12673  swrds1  12676  ccatswrd  12681  swrdccat2  12683  swrdswrd  12685  lenrevcctswrd  12692  wrdind  12702  wrd2ind  12703  swrdccatin12  12716  swrdccat  12718  swrdccat3a  12719  swrdccat3blem  12720  splcl  12728  spllen  12730  splfv1  12731  splfv2a  12732  splval2  12733  cshwcl  12769  cshwlen  12770  cshwidxmod  12774  gsumspl  16012  psgnunilem5  16519  psgnunilem2  16520  efgsres  16756  efgredleme  16761  efgredlemc  16763  efgcpbllemb  16773  frgpuplem  16790  wwlknred  24723  wwlkextwrd  24728  wwlkm1edg  24735  clwlkisclwwlk  24789  clwwlkf  24794  wwlksubclwwlk  24804  clwlkfclwwlk  24844  extwwlkfablem2  25078  wrdsplex  28495  signsvtn0  28527  signstfveq0  28534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-hash 12406  df-word 12542  df-substr 12546
  Copyright terms: Public domain W3C validator