MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdeq Unicode version

Theorem swrdeq 12671
Description: Two subwords of words are equal iff they have the same length and the same symbols at each position. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdeq
Distinct variable groups:   ,M   ,N   ,   ,   ,

Proof of Theorem swrdeq
StepHypRef Expression
1 swrdcl 12646 . . . . 5
2 swrdcl 12646 . . . . 5
31, 2anim12i 566 . . . 4
433ad2ant1 1017 . . 3
5 eqwrd 12582 . . 3
64, 5syl 16 . 2
7 simpl 457 . . . . . 6
873ad2ant1 1017 . . . . 5
9 simpl 457 . . . . . . 7
1093ad2ant2 1018 . . . . . 6
11 lencl 12562 . . . . . . . 8
1211adantr 465 . . . . . . 7
13123ad2ant1 1017 . . . . . 6
14 simpl 457 . . . . . . 7
15143ad2ant3 1019 . . . . . 6
16 elfz2nn0 11798 . . . . . 6
1710, 13, 15, 16syl3anbrc 1180 . . . . 5
18 swrd0len 12649 . . . . 5
198, 17, 18syl2anc 661 . . . 4
20 simpr 461 . . . . . 6
21203ad2ant1 1017 . . . . 5
22 simpr 461 . . . . . . 7
23223ad2ant2 1018 . . . . . 6
24 lencl 12562 . . . . . . . 8
2524adantl 466 . . . . . . 7
26253ad2ant1 1017 . . . . . 6
27 simpr 461 . . . . . . 7
28273ad2ant3 1019 . . . . . 6
29 elfz2nn0 11798 . . . . . 6
3023, 26, 28, 29syl3anbrc 1180 . . . . 5
31 swrd0len 12649 . . . . 5
3221, 30, 31syl2anc 661 . . . 4
3319, 32eqeq12d 2479 . . 3
3433anbi1d 704 . 2
358adantr 465 . . . . . . 7
3617adantr 465 . . . . . . 7
3735, 36, 18syl2anc 661 . . . . . 6
3837oveq2d 6312 . . . . 5
3938raleqdv 3060 . . . 4
4035adantr 465 . . . . . . 7
4136adantr 465 . . . . . . 7
42 simpr 461 . . . . . . 7
43 swrd0fv 12666 . . . . . . 7
4440, 41, 42, 43syl3anc 1228 . . . . . 6
45 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
4645eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10
4746adantl 466 . . . . . . . . 9
4821adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
4930adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
50 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
5148, 49, 503jca 1176 . . . . . . . . . . 11
5251ex 434 . . . . . . . . . 10
5352adantr 465 . . . . . . . . 9
5447, 53sylbid 215 . . . . . . . 8
5554imp 429 . . . . . . 7
56 swrd0fv 12666 . . . . . . 7
5755, 56syl 16 . . . . . 6
5844, 57eqeq12d 2479 . . . . 5
5958ralbidva 2893 . . . 4
6039, 59bitrd 253 . . 3
6160pm5.32da 641 . 2
626, 34, 613bitrd 279 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  <.cop 4035   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513   cle 9650   cn0 10820   cfz 11701   cfzo 11824   chash 12405  Wordcword 12534   csubstr 12538
This theorem is referenced by:  wrdeqswrdlsw  12674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-hash 12406  df-word 12542  df-substr 12546
  Copyright terms: Public domain W3C validator