Theorem swrdeq 12671

Description: Two subwords of words are equal iff they have the same length and the same symbols at each position. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdeq

Distinct variable groups:   ,M   ,N   ,   ,   ,

Proof of Theorem swrdeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdcl 12646	. . . . 5
2		swrdcl 12646	. . . . 5
3	1, 2	anim12i 566	. . . 4
4	3	3ad2ant1 1017	. . 3
5		eqwrd 12582	. . 3
6	4, 5	syl 16	. 2
7		simpl 457	. . . . . 6
8	7	3ad2ant1 1017	. . . . 5
9		simpl 457	. . . . . . 7
10	9	3ad2ant2 1018	. . . . . 6
11		lencl 12562	. . . . . . . 8
12	11	adantr 465	. . . . . . 7
13	12	3ad2ant1 1017	. . . . . 6
14		simpl 457	. . . . . . 7
15	14	3ad2ant3 1019	. . . . . 6
16		elfz2nn0 11798	. . . . . 6
17	10, 13, 15, 16	syl3anbrc 1180	. . . . 5
18		swrd0len 12649	. . . . 5
19	8, 17, 18	syl2anc 661	. . . 4
20		simpr 461	. . . . . 6
21	20	3ad2ant1 1017	. . . . 5
22		simpr 461	. . . . . . 7
23	22	3ad2ant2 1018	. . . . . 6
24		lencl 12562	. . . . . . . 8
25	24	adantl 466	. . . . . . 7
26	25	3ad2ant1 1017	. . . . . 6
27		simpr 461	. . . . . . 7
28	27	3ad2ant3 1019	. . . . . 6
29		elfz2nn0 11798	. . . . . 6
30	23, 26, 28, 29	syl3anbrc 1180	. . . . 5
31		swrd0len 12649	. . . . 5
32	21, 30, 31	syl2anc 661	. . . 4
33	19, 32	eqeq12d 2479	. . 3
34	33	anbi1d 704	. 2
35	8	adantr 465	. . . . . . 7
36	17	adantr 465	. . . . . . 7
37	35, 36, 18	syl2anc 661	. . . . . 6
38	37	oveq2d 6312	. . . . 5
39	38	raleqdv 3060	. . . 4
40	35	adantr 465	. . . . . . 7
41	36	adantr 465	. . . . . . 7
42		simpr 461	. . . . . . 7
43		swrd0fv 12666	. . . . . . 7
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1228	. . . . . 6
45		oveq2 6304	. . . . . . . . . . 11
46	45	eleq2d 2527	. . . . . . . . . 10
47	46	adantl 466	. . . . . . . . 9
48	21	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
49	30	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
50		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12
51	48, 49, 50	3jca 1176	. . . . . . . . . . 11
52	51	ex 434	. . . . . . . . . 10
53	52	adantr 465	. . . . . . . . 9
54	47, 53	sylbid 215	. . . . . . . 8
55	54	imp 429	. . . . . . 7
56		swrd0fv 12666	. . . . . . 7
57	55, 56	syl 16	. . . . . 6
58	44, 57	eqeq12d 2479	. . . . 5
59	58	ralbidva 2893	. . . 4
60	39, 59	bitrd 253	. . 3
61	60	pm5.32da 641	. 2
62	6, 34, 61	3bitrd 279	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  <.cop 4035   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  cle 9650  cn0 10820  cfz 11701  cfzo 11824  chash 12405  Wordcword 12534  csubstr 12538

This theorem is referenced by:  wrdeqswrdlsw  12674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-hash 12406  df-word 12542  df-substr 12546