MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem4 Unicode version

Theorem sylow3lem4 16066
Description: Lemma for sylow3 16069, first part. The number of Sylow subgroups is a divisor of the size of reduced by the size of a Sylow subgroup of . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x
sylow3.g
sylow3.xf
sylow3.p
sylow3lem1.a
sylow3lem1.d
sylow3lem1.m
sylow3lem2.k
sylow3lem2.h
sylow3lem2.n
Assertion
Ref Expression
sylow3lem4
Distinct variable groups:   , , , ,   , , , ,   , ,   , , , ,   ,N,   , , , ,   , , , ,   , , , ,   , , , ,   ,P, , ,

Proof of Theorem sylow3lem4
StepHypRef Expression
1 sylow3.x . . 3
2 sylow3.g . . 3
3 sylow3.xf . . 3
4 sylow3.p . . 3
5 sylow3lem1.a . . 3
6 sylow3lem1.d . . 3
7 sylow3lem1.m . . 3
8 sylow3lem2.k . . 3
9 sylow3lem2.h . . 3
10 sylow3lem2.n . . 3
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10sylow3lem3 16065 . 2
12 slwsubg 16046 . . . . . . . . . 10
138, 12syl 16 . . . . . . . . 9
14 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11
1510, 1, 5, 14nmznsg 15662 . . . . . . . . . 10
16 nsgsubg 15650 . . . . . . . . . 10
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9
1813, 17syl 16 . . . . . . . 8
1910, 1, 5nmzsubg 15659 . . . . . . . . . . 11
202, 19syl 16 . . . . . . . . . 10
2114subgbas 15622 . . . . . . . . . 10
2220, 21syl 16 . . . . . . . . 9
231subgss 15619 . . . . . . . . . . 11
2420, 23syl 16 . . . . . . . . . 10
25 ssfi 7492 . . . . . . . . . 10
263, 24, 25syl2anc 646 . . . . . . . . 9
2722, 26eqeltrrd 2497 . . . . . . . 8
28 eqid 2422 . . . . . . . . 9
2928lagsubg 15680 . . . . . . . 8
3018, 27, 29syl2anc 646 . . . . . . 7
3122fveq2d 5665 . . . . . . 7
3230, 31breqtrrd 4293 . . . . . 6
33 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12
3433subg0cl 15626 . . . . . . . . . . 11
3513, 34syl 16 . . . . . . . . . 10
36 ne0i 3620 . . . . . . . . . 10
3735, 36syl 16 . . . . . . . . 9
381subgss 15619 . . . . . . . . . . . 12
3913, 38syl 16 . . . . . . . . . . 11
40 ssfi 7492 . . . . . . . . . . 11
413, 39, 40syl2anc 646 . . . . . . . . . 10
42 hashnncl 12075 . . . . . . . . . 10
4341, 42syl 16 . . . . . . . . 9
4437, 43mpbird 226 . . . . . . . 8
4544nnzd 10691 . . . . . . 7
46 hashcl 12067 . . . . . . . . 9
4726, 46syl 16 . . . . . . . 8
4847nn0zd 10690 . . . . . . 7
49 pwfi 7565 . . . . . . . . . . 11
503, 49sylib 190 . . . . . . . . . 10
51 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13
521, 51eqger 15668 . . . . . . . . . . . 12
5320, 52syl 16 . . . . . . . . . . 11
5453qsss 7122 . . . . . . . . . 10
55 ssfi 7492 . . . . . . . . . 10
5650, 54, 55syl2anc 646 . . . . . . . . 9
57 hashcl 12067 . . . . . . . . 9
5856, 57syl 16 . . . . . . . 8
5958nn0zd 10690 . . . . . . 7
60 dvdscmul 13499 . . . . . . 7
6145, 48, 59, 60syl3anc 1203 . . . . . 6
6232, 61mpd 15 . . . . 5
63 hashcl 12067 . . . . . . . . 9
643, 63syl 16 . . . . . . . 8
6564nn0cnd 10583 . . . . . . 7
6644nncnd 10284 . . . . . . 7
6744nnne0d 10312 . . . . . . 7
6865, 66, 67divcan1d 10054 . . . . . 6
691, 51, 20, 3lagsubg2 15679 . . . . . 6
7068, 69eqtrd 2454 . . . . 5
7162, 70breqtrrd 4293 . . . 4
721lagsubg 15680 . . . . . . 7
7313, 3, 72syl2anc 646 . . . . . 6
7464nn0zd 10690 . . . . . . 7
75 dvdsval2 13478 . . . . . . 7
7645, 67, 74, 75syl3anc 1203 . . . . . 6
7773, 76mpbid 204 . . . . 5
78 dvdsmulcr 13502 . . . . 5
7959, 77, 45, 67, 78syl112anc 1207 . . . 4
8071, 79mpbid 204 . . 3
811, 3, 8slwhash 16060 . . . 4
8281oveq2d 6077 . . 3
8380, 82breqtrd 4291 . 2
8411, 83eqbrtrd 4287 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  =wceq 1687  e.wcel 1749  =/=wne 2585  A.wral 2694  {crab 2698  C_wss 3305   c0 3614  ~Pcpw 3837   class class class wbr 4267  e.cmpt 4325  rancrn 4812  `cfv 5390  (class class class)co 6061  e.cmpt2 6063  Erwer 7059  /.cqs 7061   cfn 7269  0cc0 9228   cmul 9233   cdiv 9939   cn 10268   cn0 10525   cz 10591   cexp 11806   chash 12044   cdivides 13475   cprime 13703   cpc 13843   cbs 14114   cress 14115   cplusg 14178   c0g 14318   cgrp 15350   csg 15353   csubg 15612   cnsg 15613   cqg 15614   cslw 15968
This theorem is referenced by:  sylow3  16069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-fal 1356  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-disj 4238  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-2o 6882  df-oadd 6885  df-omul 6886  df-er 7062  df-ec 7064  df-qs 7068  df-map 7177  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-acn 8059  df-cda 8284  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-q 10899  df-rp 10937  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-fl 11583  df-mod 11650  df-seq 11748  df-exp 11807  df-fac 11993  df-bc 12020  df-hash 12045  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-clim 12907  df-sum 13105  df-dvds 13476  df-gcd 13631  df-prm 13704  df-pc 13844  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-ress 14121  df-plusg 14191  df-0g 14320  df-mnd 15355  df-submnd 15405  df-grp 15482  df-minusg 15483  df-sbg 15484  df-mulg 15485  df-subg 15615  df-nsg 15616  df-eqg 15617  df-ghm 15682  df-ga 15745  df-od 15969  df-pgp 15971  df-slw 15972
  Copyright terms: Public domain W3C validator