MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem4 Unicode version

Theorem sylow3lem4 16290
Description: Lemma for sylow3 16293, first part. The number of Sylow subgroups is a divisor of the size of reduced by the size of a Sylow subgroup of . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x
sylow3.g
sylow3.xf
sylow3.p
sylow3lem1.a
sylow3lem1.d
sylow3lem1.m
sylow3lem2.k
sylow3lem2.h
sylow3lem2.n
Assertion
Ref Expression
sylow3lem4
Distinct variable groups:   , , , ,   , , , ,   , ,   , , , ,   ,N,   , , , ,   , , , ,   , , , ,   , , , ,   ,P, , ,

Proof of Theorem sylow3lem4
StepHypRef Expression
1 sylow3.x . . 3
2 sylow3.g . . 3
3 sylow3.xf . . 3
4 sylow3.p . . 3
5 sylow3lem1.a . . 3
6 sylow3lem1.d . . 3
7 sylow3lem1.m . . 3
8 sylow3lem2.k . . 3
9 sylow3lem2.h . . 3
10 sylow3lem2.n . . 3
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10sylow3lem3 16289 . 2
12 slwsubg 16270 . . . . . . . . . 10
138, 12syl 16 . . . . . . . . 9
14 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11
1510, 1, 5, 14nmznsg 15884 . . . . . . . . . 10
16 nsgsubg 15872 . . . . . . . . . 10
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9
1813, 17syl 16 . . . . . . . 8
1910, 1, 5nmzsubg 15881 . . . . . . . . . . 11
202, 19syl 16 . . . . . . . . . 10
2114subgbas 15844 . . . . . . . . . 10
2220, 21syl 16 . . . . . . . . 9
231subgss 15841 . . . . . . . . . . 11
2420, 23syl 16 . . . . . . . . . 10
25 ssfi 7668 . . . . . . . . . 10
263, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . 9
2722, 26eqeltrrd 2543 . . . . . . . 8
28 eqid 2454 . . . . . . . . 9
2928lagsubg 15902 . . . . . . . 8
3018, 27, 29syl2anc 661 . . . . . . 7
3122fveq2d 5817 . . . . . . 7
3230, 31breqtrrd 4435 . . . . . 6
33 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12
3433subg0cl 15848 . . . . . . . . . . 11
3513, 34syl 16 . . . . . . . . . 10
36 ne0i 3757 . . . . . . . . . 10
3735, 36syl 16 . . . . . . . . 9
381subgss 15841 . . . . . . . . . . . 12
3913, 38syl 16 . . . . . . . . . . 11
40 ssfi 7668 . . . . . . . . . . 11
413, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
42 hashnncl 12291 . . . . . . . . . 10
4341, 42syl 16 . . . . . . . . 9
4437, 43mpbird 232 . . . . . . . 8
4544nnzd 10884 . . . . . . 7
46 hashcl 12283 . . . . . . . . 9
4726, 46syl 16 . . . . . . . 8
4847nn0zd 10883 . . . . . . 7
49 pwfi 7741 . . . . . . . . . . 11
503, 49sylib 196 . . . . . . . . . 10
51 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13
521, 51eqger 15890 . . . . . . . . . . . 12
5320, 52syl 16 . . . . . . . . . . 11
5453qsss 7295 . . . . . . . . . 10
55 ssfi 7668 . . . . . . . . . 10
5650, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . 9
57 hashcl 12283 . . . . . . . . 9
5856, 57syl 16 . . . . . . . 8
5958nn0zd 10883 . . . . . . 7
60 dvdscmul 13717 . . . . . . 7
6145, 48, 59, 60syl3anc 1219 . . . . . 6
6232, 61mpd 15 . . . . 5
63 hashcl 12283 . . . . . . . . 9
643, 63syl 16 . . . . . . . 8
6564nn0cnd 10776 . . . . . . 7
6644nncnd 10476 . . . . . . 7
6744nnne0d 10504 . . . . . . 7
6865, 66, 67divcan1d 10245 . . . . . 6
691, 51, 20, 3lagsubg2 15901 . . . . . 6
7068, 69eqtrd 2495 . . . . 5
7162, 70breqtrrd 4435 . . . 4
721lagsubg 15902 . . . . . . 7
7313, 3, 72syl2anc 661 . . . . . 6
7464nn0zd 10883 . . . . . . 7
75 dvdsval2 13696 . . . . . . 7
7645, 67, 74, 75syl3anc 1219 . . . . . 6
7773, 76mpbid 210 . . . . 5
78 dvdsmulcr 13720 . . . . 5
7959, 77, 45, 67, 78syl112anc 1223 . . . 4
8071, 79mpbid 210 . . 3
811, 3, 8slwhash 16284 . . . 4
8281oveq2d 6238 . . 3
8380, 82breqtrd 4433 . 2
8411, 83eqbrtrd 4429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648  A.wral 2800  {crab 2804  C_wss 3442   c0 3751  ~Pcpw 3976   class class class wbr 4409  e.cmpt 4467  rancrn 4958  `cfv 5537  (class class class)co 6222  e.cmpt2 6224  Erwer 7232  /.cqs 7234   cfn 7444  0cc0 9419   cmul 9424   cdiv 10130   cn 10460   cn0 10717   cz 10784   cexp 12022   chash 12260   cdivides 13693   cprime 13921   cpc 14061   cbs 14332   cress 14333   cplusg 14397   c0g 14537   cgrp 15569   csg 15572   csubg 15834   cnsg 15835   cqg 15836   cslw 16192
This theorem is referenced by:  sylow3  16293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-disj 4380  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-2o 7055  df-oadd 7058  df-omul 7059  df-er 7235  df-ec 7237  df-qs 7241  df-map 7350  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-sup 7827  df-oi 7861  df-card 8246  df-acn 8249  df-cda 8474  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-n0 10718  df-z 10785  df-uz 11001  df-q 11093  df-rp 11131  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-fl 11787  df-mod 11854  df-seq 11964  df-exp 12023  df-fac 12209  df-bc 12236  df-hash 12261  df-cj 12746  df-re 12747  df-im 12748  df-sqr 12882  df-abs 12883  df-clim 13124  df-sum 13322  df-dvds 13694  df-gcd 13849  df-prm 13922  df-pc 14062  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-ress 14339  df-plusg 14410  df-0g 14539  df-mnd 15574  df-submnd 15624  df-grp 15704  df-minusg 15705  df-sbg 15706  df-mulg 15707  df-subg 15837  df-nsg 15838  df-eqg 15839  df-ghm 15904  df-ga 15967  df-od 16193  df-pgp 16195  df-slw 16196
  Copyright terms: Public domain W3C validator