Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgval Unicode version

Theorem symgval 15970
 Description: The value of the symmetric group function at . (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgval.1
symgval.2
symgval.3
symgval.4
Assertion
Ref Expression
symgval
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem symgval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgval.1 . 2
2 elex 3061 . . 3
3 ovex 6199 . . . . . . 7
4 f1of 5723 . . . . . . . . 9
5 vex 3055 . . . . . . . . . 10
65, 5elmap 7325 . . . . . . . . 9
74, 6sylibr 212 . . . . . . . 8
87abssi 3509 . . . . . . 7
93, 8ssexi 4519 . . . . . 6
109a1i 11 . . . . 5
11 id 22 . . . . . . . 8
12 f1oeq23 5717 . . . . . . . . . . 11
1312anidms 645 . . . . . . . . . 10
1413abbidv 2584 . . . . . . . . 9
15 symgval.2 . . . . . . . . 9
1614, 15syl6eqr 2508 . . . . . . . 8
1711, 16sylan9eqr 2512 . . . . . . 7
1817opeq2d 4148 . . . . . 6
19 eqidd 2451 . . . . . . . . 9
2017, 17, 19mpt2eq123dv 6231 . . . . . . . 8
21 symgval.3 . . . . . . . 8
2220, 21syl6eqr 2508 . . . . . . 7
2322opeq2d 4148 . . . . . 6
24 simpl 457 . . . . . . . . . 10
2524pweqd 3947 . . . . . . . . . . 11
2625sneqd 3971 . . . . . . . . . 10
2724, 26xpeq12d 4947 . . . . . . . . 9
2827fveq2d 5777 . . . . . . . 8
29 symgval.4 . . . . . . . 8
3028, 29syl6eqr 2508 . . . . . . 7
3130opeq2d 4148 . . . . . 6
3218, 23, 31tpeq123d 4051 . . . . 5
3310, 32csbied 3396 . . . 4
34 df-symg 15969 . . . 4
35 tpex 6463 . . . 4
3633, 34, 35fvmpt 5857 . . 3
372, 36syl 16 . 2
381, 37syl5eq 2502 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1757  {cab 2435   cvv 3052  [_csb 3370  ~Pcpw 3942  {csn 3959  {ctp 3963  <.cop 3965  X.cxp 4920  o.ccom 4926  -->wf 5496  -1-1-onto->wf1o 5499  cfv 5500  (class class class)co 6174  e.`cmpt2 6176   cmap 7298   cnx 14257   cbs 14260   cplusg 14324   cts 14330   cpt 14463   csymg 15968 This theorem is referenced by:  symgbas  15971  symgplusg  15980  symgtset  15990 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4495  ax-nul 4503  ax-pow 4552  ax-pr 4613  ax-un 6456 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-rab 2801  df-v 3054  df-sbc 3269  df-csb 3371  df-dif 3413  df-un 3415  df-in 3417  df-ss 3424  df-nul 3720  df-if 3874  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4174  df-br 4375  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-id 4718  df-xp 4928  df-rel 4929  df-cnv 4930  df-co 4931  df-dm 4932  df-rn 4933  df-iota 5463  df-fun 5502  df-fn 5503  df-f 5504  df-f1 5505  df-fo 5506  df-f1o 5507  df-fv 5508  df-ov 6177  df-oprab 6178  df-mpt2 6179  df-map 7300  df-symg 15969
 Copyright terms: Public domain W3C validator