MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanval3 Unicode version

Theorem tanval3 13869
Description: Express the tangent function directly in terms of . (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanval3

Proof of Theorem tanval3
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9572 . . . . . 6
2 simpl 457 . . . . . 6
3 mulcl 9597 . . . . . 6
41, 2, 3sylancr 663 . . . . 5
5 efcl 13818 . . . . 5
64, 5syl 16 . . . 4
7 negicn 9844 . . . . . 6
8 mulcl 9597 . . . . . 6
97, 2, 8sylancr 663 . . . . 5
10 efcl 13818 . . . . 5
119, 10syl 16 . . . 4
126, 11subcld 9954 . . 3
136, 11addcld 9636 . . . 4
14 mulcl 9597 . . . 4
151, 13, 14sylancr 663 . . 3
16 2z 10921 . . . . . . . . . . 11
17 efexp 13836 . . . . . . . . . . 11
184, 16, 17sylancl 662 . . . . . . . . . 10
196sqvald 12307 . . . . . . . . . 10
2018, 19eqtrd 2498 . . . . . . . . 9
21 mulneg1 10018 . . . . . . . . . . . . 13
221, 2, 21sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
2322fveq2d 5875 . . . . . . . . . . 11
2423oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
25 efcan 13831 . . . . . . . . . . 11
264, 25syl 16 . . . . . . . . . 10
2724, 26eqtr2d 2499 . . . . . . . . 9
2820, 27oveq12d 6314 . . . . . . . 8
296, 6, 11adddid 9641 . . . . . . . 8
3028, 29eqtr4d 2501 . . . . . . 7
3130oveq2d 6312 . . . . . 6
321a1i 11 . . . . . . 7
3332, 6, 13mul12d 9810 . . . . . 6
3431, 33eqtrd 2498 . . . . 5
35 2cn 10631 . . . . . . . . 9
36 mulcl 9597 . . . . . . . . 9
3735, 4, 36sylancr 663 . . . . . . . 8
38 efcl 13818 . . . . . . . 8
3937, 38syl 16 . . . . . . 7
40 ax-1cn 9571 . . . . . . 7
41 addcl 9595 . . . . . . 7
4239, 40, 41sylancl 662 . . . . . 6
43 ine0 10017 . . . . . . 7
4443a1i 11 . . . . . 6
45 simpr 461 . . . . . 6
4632, 42, 44, 45mulne0d 10226 . . . . 5
4734, 46eqnetrrd 2751 . . . 4
486, 15, 47mulne0bbd 10230 . . 3
49 efne0 13832 . . . 4
504, 49syl 16 . . 3
5112, 15, 6, 48, 50divcan5d 10371 . 2
5220, 27oveq12d 6314 . . . 4
536, 6, 11subdid 10037 . . . 4
5452, 53eqtr4d 2501 . . 3
5554, 34oveq12d 6314 . 2
56 cosval 13858 . . . . 5
5756adantr 465 . . . 4
58 2cnd 10633 . . . . 5
5932, 13, 48mulne0bbd 10230 . . . . 5
60 2ne0 10653 . . . . . 6
6160a1i 11 . . . . 5
6213, 58, 59, 61divne0d 10361 . . . 4
6357, 62eqnetrd 2750 . . 3
64 tanval2 13868 . . 3
6563, 64syldan 470 . 2
6651, 55, 653eqtr4rd 2509 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   ci 9515   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828  -ucneg 9829   cdiv 10231  2c2 10610   cz 10889   cexp 12166   ce 13797   ccos 13800   ctan 13801
This theorem is referenced by:  tanarg  23004  tanatan  23250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-bc 12381  df-hash 12406  df-shft 12900  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509  df-ef 13803  df-sin 13805  df-cos 13806  df-tan 13807
  Copyright terms: Public domain W3C validator