Theorem tc2 8194

Description: A variant of the definition of the transitive closure function, using instead the smallest transitive set containing as a member, gives almost the same set, except that itself must be added because it is not usually a member of (and it is never a member if is well-founded). (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
tc2.1

Assertion

Ref	Expression
tc2

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem tc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tc2.1	. . . . 5
2		tcvalg 8190	. . . . 5
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4
4		trss 4554	. . . . . . 7
5	4	imdistanri 691	. . . . . 6
6	5	ss2abi 3571	. . . . 5
7		intss 4307	. . . . 5
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4
9	3, 8	eqsstri 3533	. . 3
10	1	elintab 4297	. . . . 5
11		simpl 457	. . . . 5
12	10, 11	mpgbir 1622	. . . 4
13	1	snss 4154	. . . 4
14	12, 13	mpbi 208	. . 3
15	9, 14	unssi 3678	. 2
16	1	snid 4057	. . . . 5
17		elun2 3671	. . . . 5
18	16, 17	ax-mp 5	. . . 4
19		uniun 4268	. . . . . . 7
20		tctr 8192	. . . . . . . . 9
21		df-tr 4546	. . . . . . . . 9
22	20, 21	mpbi 208	. . . . . . . 8
23	1	unisn 4264	. . . . . . . . 9
24		tcid 8191	. . . . . . . . . 10
25	1, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
26	23, 25	eqsstri 3533	. . . . . . . 8
27	22, 26	unssi 3678	. . . . . . 7
28	19, 27	eqsstri 3533	. . . . . 6
29		ssun1 3666	. . . . . 6
30	28, 29	sstri 3512	. . . . 5
31		df-tr 4546	. . . . 5
32	30, 31	mpbir 209	. . . 4
33		fvex 5881	. . . . . 6
34		snex 4693	. . . . . 6
35	33, 34	unex 6598	. . . . 5
36		eleq2 2530	. . . . . 6
37		treq 4551	. . . . . 6
38	36, 37	anbi12d 710	. . . . 5
39	35, 38	elab 3246	. . . 4
40	18, 32, 39	mpbir2an 920	. . 3
41		intss1 4301	. . 3
42	40, 41	ax-mp 5	. 2
43	15, 42	eqssi 3519	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  cvv 3109  u.cun 3473  C_wss 3475  {csn 4029  U.cuni 4249  |^|cint 4286  Trwtr 4545  `cfv 5593  ctc 8188

This theorem is referenced by:  tcsni  8195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-tc 8189