Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tc2 Unicode version

Theorem tc2 8194
 Description: A variant of the definition of the transitive closure function, using instead the smallest transitive set containing as a member, gives almost the same set, except that itself must be added because it is not usually a member of (and it is never a member if is well-founded). (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
tc2.1
Assertion
Ref Expression
tc2
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem tc2
StepHypRef Expression
1 tc2.1 . . . . 5
2 tcvalg 8190 . . . . 5
31, 2ax-mp 5 . . . 4
4 trss 4554 . . . . . . 7
54imdistanri 691 . . . . . 6
65ss2abi 3571 . . . . 5
7 intss 4307 . . . . 5
86, 7ax-mp 5 . . . 4
93, 8eqsstri 3533 . . 3
101elintab 4297 . . . . 5
11 simpl 457 . . . . 5
1210, 11mpgbir 1622 . . . 4
131snss 4154 . . . 4
1412, 13mpbi 208 . . 3
159, 14unssi 3678 . 2
161snid 4057 . . . . 5
17 elun2 3671 . . . . 5
1816, 17ax-mp 5 . . . 4
19 uniun 4268 . . . . . . 7
20 tctr 8192 . . . . . . . . 9
21 df-tr 4546 . . . . . . . . 9
2220, 21mpbi 208 . . . . . . . 8
231unisn 4264 . . . . . . . . 9
24 tcid 8191 . . . . . . . . . 10
251, 24ax-mp 5 . . . . . . . . 9
2623, 25eqsstri 3533 . . . . . . . 8
2722, 26unssi 3678 . . . . . . 7
2819, 27eqsstri 3533 . . . . . 6
29 ssun1 3666 . . . . . 6
3028, 29sstri 3512 . . . . 5
31 df-tr 4546 . . . . 5
3230, 31mpbir 209 . . . 4
33 fvex 5881 . . . . . 6
34 snex 4693 . . . . . 6
3533, 34unex 6598 . . . . 5
36 eleq2 2530 . . . . . 6
37 treq 4551 . . . . . 6
3836, 37anbi12d 710 . . . . 5
3935, 38elab 3246 . . . 4
4018, 32, 39mpbir2an 920 . . 3
41 intss1 4301 . . 3
4240, 41ax-mp 5 . 2
4315, 42eqssi 3519 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442   cvv 3109  u.cun 3473  C_wss 3475  {csn 4029  U.cuni 4249  |^|cint 4286  Trwtr 4545  `cfv 5593   ctc 8188 This theorem is referenced by:  tcsni  8195 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-tc 8189
 Copyright terms: Public domain W3C validator