MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcmin Unicode version

Theorem tcmin 8193
Description: Defining property of the transitive closure function: it is a subset of any transitive class containing . (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tcmin

Proof of Theorem tcmin
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tcvalg 8190 . . . . 5
2 fvex 5881 . . . . 5
31, 2syl6eqelr 2554 . . . 4
4 intexab 4610 . . . 4
53, 4sylibr 212 . . 3
6 ssin 3719 . . . . . . . . 9
76biimpi 194 . . . . . . . 8
8 trin 4555 . . . . . . . 8
97, 8anim12i 566 . . . . . . 7
109an4s 826 . . . . . 6
1110expcom 435 . . . . 5
12 vex 3112 . . . . . . . . 9
1312inex1 4593 . . . . . . . 8
14 sseq2 3525 . . . . . . . . 9
15 treq 4551 . . . . . . . . 9
1614, 15anbi12d 710 . . . . . . . 8
1713, 16elab 3246 . . . . . . 7
18 intss1 4301 . . . . . . 7
1917, 18sylbir 213 . . . . . 6
20 inss2 3718 . . . . . 6
2119, 20syl6ss 3515 . . . . 5
2211, 21syl6 33 . . . 4
2322exlimdv 1724 . . 3
245, 23syl5com 30 . 2
25 tcvalg 8190 . . 3
2625sseq1d 3530 . 2
2724, 26sylibrd 234 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  |^|cint 4286  Trwtr 4545  `cfv 5593   ctc 8188
This theorem is referenced by:  tcidm  8198  tc0  8199  tcwf  8322  itunitc  8822  grur1  9219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-tc 8189
  Copyright terms: Public domain W3C validator