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Theorem tcrank 8323
 Description: This theorem expresses two different facts from the two subset implications in this equality. In the forward direction, it says that the transitive closure has members of every rank below . Stated another way, to construct a set at a given rank, you have to climb the entire hierarchy of ordinals below , constructing at least one set at each level in order to move up the ranks. In the reverse direction, it says that every member of has a rank below the rank of , since intuitively it contains only the members of and the members of those and so on, but nothing "bigger" than . (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tcrank

Proof of Theorem tcrank
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rankwflemb 8232 . . 3
2 suceloni 6648 . . . . 5
3 fveq2 5871 . . . . . . . 8
43raleqdv 3060 . . . . . . 7
5 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
6 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
76imaeq2d 5342 . . . . . . . . 9
85, 7sseq12d 3532 . . . . . . . 8
98cbvralv 3084 . . . . . . 7
104, 9syl6bb 261 . . . . . 6
11 fveq2 5871 . . . . . . 7
1211raleqdv 3060 . . . . . 6
13 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
14 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14
15 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . 14
16 rankr1ai 8237 . . . . . . . . . . . . . . . 16
17 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1817raleqdv 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1918rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2016, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
21 r1elwf 8235 . . . . . . . . . . . . . . . 16
22 r1rankidb 8243 . . . . . . . . . . . . . . . 16
23 ssralv 3563 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2421, 22, 233syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15
2520, 24syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14
2614, 15, 25sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13
27 rankval3b 8265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2827eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2928biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
30 rankon 8234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3130oneli 4990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
32 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3332ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3433onnminsb 6639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3531, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3629, 35sylcom 29 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3721, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3837imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15
39 rexnal 2905 . . . . . . . . . . . . . . 15
4038, 39sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
42 r19.29 2992 . . . . . . . . . . . . 13
4326, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
44 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . . 15
45 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
46 tcid 8191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4847sseli 3499 . . . . . . . . . . . . . . 15
49 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5049eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5150rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5251ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15
5344, 48, 523syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14
54 simp3l 1024 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5554sseld 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15
56 simp1l 1020 . . . . . . . . . . . . . . . 16
57 rankf 8233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
58 ffn 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60 r1tr 8215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
61 trel 4552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
63 r1elwf 8235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
64 tcwf 8322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
65 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6665r1elss 8245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6764, 66sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6862, 63, 673syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
69 fvelimab 5929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7059, 68, 69sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7145tcel 8197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
72 ssrexv 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7473adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7570, 74sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7644, 56, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
7755, 76syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14
78 rankon 8234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
79 eloni 4893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
80 eloni 4893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
81 ordtri3or 4915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8279, 80, 81syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8378, 31, 82sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
84 3orass 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8583, 84sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8685orcanai 913 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8786ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . . . . 15
88873adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . 14
8953, 77, 88mpjaod 381 . . . . . . . . . . . . 13
9089rexlimdv3a 2951 . . . . . . . . . . . 12
9113, 43, 90sylc 60 . . . . . . . . . . 11
9291expr 615 . . . . . . . . . 10
93 tcwf 8322 . . . . . . . . . . . . 13
94 r1elssi 8244 . . . . . . . . . . . . . 14
95 fvelimab 5929 . . . . . . . . . . . . . 14
9694, 95sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13
9759, 93, 96sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
9821, 97syl 16 . . . . . . . . . . 11
9998adantl 466 . . . . . . . . . 10
10092, 99sylibrd 234 . . . . . . . . 9
101100ssrdv 3509 . . . . . . . 8
102101ralrimiva 2871 . . . . . . 7
103102ex 434 . . . . . 6
10410, 12, 103tfis3 6692 . . . . 5
105 fveq2 5871 . . . . . . 7
106 fveq2 5871 . . . . . . . 8
107106imaeq2d 5342 . . . . . . 7
108105, 107sseq12d 3532 . . . . . 6
109108rspccv 3207 . . . . 5
1102, 104, 1093syl 20 . . . 4
111110rexlimiv 2943 . . 3
1121, 111sylbi 195 . 2
113 tcvalg 8190 . . . 4
114 r1rankidb 8243 . . . . 5
115 r1tr 8215 . . . . 5
116 fvex 5881 . . . . . . 7
117 sseq2 3525 . . . . . . . 8
118 treq 4551 . . . . . . . 8
119117, 118anbi12d 710 . . . . . . 7
120116, 119elab 3246 . . . . . 6
121 intss1 4301 . . . . . 6
122120, 121sylbir 213 . . . . 5
123114, 115, 122sylancl 662 . . . 4
124113, 123eqsstrd 3537 . . 3
125 imass2 5377 . . . 4
126 ffun 5738 . . . . . . . 8
12757, 126ax-mp 5 . . . . . . 7
128 fvelima 5925 . . . . . . 7
129127, 128mpan 670 . . . . . 6
130 rankr1ai 8237 . . . . . . . 8
131 eleq1 2529 . . . . . . . 8
132130, 131syl5ibcom 220 . . . . . . 7
133132rexlimiv 2943 . . . . . 6
134129, 133syl 16 . . . . 5
135134ssriv 3507 . . . 4
136125, 135syl6ss 3515 . . 3
137124, 136syl 16 . 2
138112, 137eqssd 3520 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  C_wss 3475  U.cuni 4249  |^|cint 4286  Trwtr 4545  Ordword 4882   con0 4883  succsuc 4885  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593   ctc 8188   cr1 8201   crnk 8202 This theorem is referenced by:  hsmexlem5  8831  grur1  9219 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-tc 8189  df-r1 8203  df-rank 8204
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