MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  telfsumo Unicode version

Theorem telfsumo 13616
Description: Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
telfsumo.1
telfsumo.2
telfsumo.3
telfsumo.4
telfsumo.5
telfsumo.6
Assertion
Ref Expression
telfsumo
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   , ,M   ,N,   , ,   ,   ,

Proof of Theorem telfsumo
StepHypRef Expression
1 telfsumo.5 . . . . . . . 8
2 eluzfz1 11722 . . . . . . . 8
31, 2syl 16 . . . . . . 7
4 telfsumo.6 . . . . . . . 8
54ralrimiva 2871 . . . . . . 7
6 telfsumo.3 . . . . . . . . 9
76eleq1d 2526 . . . . . . . 8
87rspcv 3206 . . . . . . 7
93, 5, 8sylc 60 . . . . . 6
109adantr 465 . . . . 5
1110subidd 9942 . . . 4
12 sum0 13543 . . . 4
1311, 12syl6reqr 2517 . . 3
14 oveq2 6304 . . . . . 6
1514adantl 466 . . . . 5
16 fzo0 11849 . . . . 5
1715, 16syl6eq 2514 . . . 4
1817sumeq1d 13523 . . 3
19 eqeq1 2461 . . . . . . . 8
20 telfsumo.4 . . . . . . . . 9
2120eqeq1d 2459 . . . . . . . 8
2219, 21imbi12d 320 . . . . . . 7
2322, 6vtoclg 3167 . . . . . 6
2423imp 429 . . . . 5
251, 24sylan 471 . . . 4
2625oveq2d 6312 . . 3
2713, 18, 263eqtr4d 2508 . 2
28 fzofi 12084 . . . . . 6
2928a1i 11 . . . . 5
30 elfzofz 11843 . . . . . . 7
3130adantl 466 . . . . . 6
325adantr 465 . . . . . 6
33 telfsumo.1 . . . . . . . 8
3433eleq1d 2526 . . . . . . 7
3534rspcv 3206 . . . . . 6
3631, 32, 35sylc 60 . . . . 5
37 fzofzp1 11909 . . . . . . 7
3837adantl 466 . . . . . 6
39 telfsumo.2 . . . . . . . 8
4039eleq1d 2526 . . . . . . 7
4140rspcv 3206 . . . . . 6
4238, 32, 41sylc 60 . . . . 5
4329, 36, 42fsumsub 13603 . . . 4
4443adantr 465 . . 3
4533cbvsumv 13518 . . . . . 6
46 eluzel2 11115 . . . . . . . . . 10
471, 46syl 16 . . . . . . . . 9
48 eluzp1m1 11133 . . . . . . . . 9
4947, 48sylan 471 . . . . . . . 8
50 eluzelz 11119 . . . . . . . . . . . . . 14
511, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
53 fzoval 11830 . . . . . . . . . . . 12
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . 11
55 fzossfz 11846 . . . . . . . . . . 11
5654, 55syl6eqssr 3554 . . . . . . . . . 10
5756sselda 3503 . . . . . . . . 9
584adantlr 714 . . . . . . . . 9
5957, 58syldan 470 . . . . . . . 8
6049, 59, 6fsum1p 13568 . . . . . . 7
6154sumeq1d 13523 . . . . . . 7
62 fzoval 11830 . . . . . . . . . 10
6352, 62syl 16 . . . . . . . . 9
6463sumeq1d 13523 . . . . . . . 8
6564oveq2d 6312 . . . . . . 7
6660, 61, 653eqtr4d 2508 . . . . . 6
6745, 66syl5eqr 2512 . . . . 5
68 simpr 461 . . . . . . 7
69 fzp1ss 11760 . . . . . . . . . . 11
7047, 69syl 16 . . . . . . . . . 10
7170sselda 3503 . . . . . . . . 9
7271, 4syldan 470 . . . . . . . 8
7372adantlr 714 . . . . . . 7
7468, 73, 20fsumm1 13566 . . . . . 6
75 1zzd 10920 . . . . . . . . 9
7647peano2zd 10997 . . . . . . . . 9
7775, 76, 51, 72, 39fsumshftm 13596 . . . . . . . 8
7847zcnd 10995 . . . . . . . . . . . 12
79 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . 12
80 pncan 9849 . . . . . . . . . . . 12
8178, 79, 80sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
8281oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10
8351, 53syl 16 . . . . . . . . . 10
8482, 83eqtr4d 2501 . . . . . . . . 9
8584sumeq1d 13523 . . . . . . . 8
8677, 85eqtrd 2498 . . . . . . 7
8786adantr 465 . . . . . 6
8851, 62syl 16 . . . . . . . . . 10
8988sumeq1d 13523 . . . . . . . . 9
9089oveq1d 6311 . . . . . . . 8
91 fzofi 12084 . . . . . . . . . . 11
9291a1i 11 . . . . . . . . . 10
93 elfzofz 11843 . . . . . . . . . . 11
9493, 72sylan2 474 . . . . . . . . . 10
9592, 94fsumcl 13555 . . . . . . . . 9
96 eluzfz2 11723 . . . . . . . . . . 11
971, 96syl 16 . . . . . . . . . 10
9820eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11
9998rspcv 3206 . . . . . . . . . 10
10097, 5, 99sylc 60 . . . . . . . . 9
10195, 100addcomd 9803 . . . . . . . 8
10290, 101eqtr3d 2500 . . . . . . 7
103102adantr 465 . . . . . 6
10474, 87, 1033eqtr3d 2506 . . . . 5
10567, 104oveq12d 6314 . . . 4
1069, 100, 95pnpcan2d 9992 . . . . 5
107106adantr 465 . . . 4
108105, 107eqtrd 2498 . . 3
10944, 108eqtrd 2498 . 2
110 uzp1 11143 . . 3
1111, 110syl 16 . 2
11227, 109, 111mpjaodan 786 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475   c0 3784  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmin 9828   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701   cfzo 11824  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  telfsumo2  13617  telfsum  13618  geoserg  13677  dchrisumlem2  23675  stirlinglem12  31867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator