MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tfindsg Unicode version

Theorem tfindsg 6695
Description: Transfinite Induction (inference schema), using implicit substitutions. The first four hypotheses establish the substitutions we need. The last three are the basis, the induction step for successors, and the induction step for limit ordinals. The basis of this version is an arbitrary ordinal instead of zero. Remark in [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 5-Mar-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
tfindsg.1
tfindsg.2
tfindsg.3
tfindsg.4
tfindsg.5
tfindsg.6
tfindsg.7
Assertion
Ref Expression
tfindsg
Distinct variable groups:   ,   , ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem tfindsg
StepHypRef Expression
1 sseq2 3525 . . . . . . 7
21adantl 466 . . . . . 6
3 eqeq2 2472 . . . . . . . 8
4 tfindsg.1 . . . . . . . 8
53, 4syl6bir 229 . . . . . . 7
65imp 429 . . . . . 6
72, 6imbi12d 320 . . . . 5
81imbi1d 317 . . . . . 6
9 ss0 3816 . . . . . . . . 9
109con3i 135 . . . . . . . 8
1110pm2.21d 106 . . . . . . 7
1211pm5.74d 247 . . . . . 6
138, 12sylan9bbr 700 . . . . 5
147, 13pm2.61ian 790 . . . 4
1514imbi2d 316 . . 3
16 sseq2 3525 . . . . 5
17 tfindsg.2 . . . . 5
1816, 17imbi12d 320 . . . 4
1918imbi2d 316 . . 3
20 sseq2 3525 . . . . 5
21 tfindsg.3 . . . . 5
2220, 21imbi12d 320 . . . 4
2322imbi2d 316 . . 3
24 sseq2 3525 . . . . 5
25 tfindsg.4 . . . . 5
2624, 25imbi12d 320 . . . 4
2726imbi2d 316 . . 3
28 tfindsg.5 . . . 4
2928a1d 25 . . 3
30 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14
3130sucex 6646 . . . . . . . . . . . . 13
3231eqvinc 3226 . . . . . . . . . . . 12
3328, 4syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . 14
3421biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . 14
3533, 34sylan9r 658 . . . . . . . . . . . . 13
3635exlimiv 1722 . . . . . . . . . . . 12
3732, 36sylbi 195 . . . . . . . . . . 11
3837eqcoms 2469 . . . . . . . . . 10
3938imim2i 14 . . . . . . . . 9
4039a1d 25 . . . . . . . 8
4140com4r 86 . . . . . . 7
4241adantl 466 . . . . . 6
43 df-ne 2654 . . . . . . . . 9
4443anbi2i 694 . . . . . . . 8
45 annim 425 . . . . . . . 8
4644, 45bitri 249 . . . . . . 7
47 onsssuc 4970 . . . . . . . . . 10
48 suceloni 6648 . . . . . . . . . . 11
49 onelpss 4923 . . . . . . . . . . 11
5048, 49sylan2 474 . . . . . . . . . 10
5147, 50bitrd 253 . . . . . . . . 9
5251ancoms 453 . . . . . . . 8
53 tfindsg.6 . . . . . . . . . . . 12
5453ex 434 . . . . . . . . . . 11
55 ax-1 6 . . . . . . . . . . 11
5654, 55syl8 70 . . . . . . . . . 10
5756a2d 26 . . . . . . . . 9
5857com23 78 . . . . . . . 8
5952, 58sylbird 235 . . . . . . 7
6046, 59syl5bir 218 . . . . . 6
6142, 60pm2.61d 158 . . . . 5
6261ex 434 . . . 4
6362a2d 26 . . 3
64 pm2.27 39 . . . . . . . . 9
6564ralimdv 2867 . . . . . . . 8
6665ad2antlr 726 . . . . . . 7
67 tfindsg.7 . . . . . . 7
6866, 67syld 44 . . . . . 6
6968exp31 604 . . . . 5
7069com3l 81 . . . 4
7170com4t 85 . . 3
7215, 19, 23, 27, 29, 63, 71tfinds 6694 . 2
7372imp31 432 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  C_wss 3475   c0 3784   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885
This theorem is referenced by:  tfindsg2  6696  oaordi  7214  infensuc  7715  r1ordg  8217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889
  Copyright terms: Public domain W3C validator