Theorem tfindsg 6695

Description: Transfinite Induction (inference schema), using implicit substitutions. The first four hypotheses establish the substitutions we need. The last three are the basis, the induction step for successors, and the induction step for limit ordinals. The basis of this version is an arbitrary ordinal instead of zero. Remark in [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 5-Mar-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfindsg.1
tfindsg.2
tfindsg.3
tfindsg.4
tfindsg.5
tfindsg.6
tfindsg.7

Assertion

Ref	Expression
tfindsg

Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem tfindsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3525	. . . . . . 7
2	1	adantl 466	. . . . . 6
3		eqeq2 2472	. . . . . . . 8
4		tfindsg.1	. . . . . . . 8
5	3, 4	syl6bir 229	. . . . . . 7
6	5	imp 429	. . . . . 6
7	2, 6	imbi12d 320	. . . . 5
8	1	imbi1d 317	. . . . . 6
9		ss0 3816	. . . . . . . . 9
10	9	con3i 135	. . . . . . . 8
11	10	pm2.21d 106	. . . . . . 7
12	11	pm5.74d 247	. . . . . 6
13	8, 12	sylan9bbr 700	. . . . 5
14	7, 13	pm2.61ian 790	. . . 4
15	14	imbi2d 316	. . 3
16		sseq2 3525	. . . . 5
17		tfindsg.2	. . . . 5
18	16, 17	imbi12d 320	. . . 4
19	18	imbi2d 316	. . 3
20		sseq2 3525	. . . . 5
21		tfindsg.3	. . . . 5
22	20, 21	imbi12d 320	. . . 4
23	22	imbi2d 316	. . 3
24		sseq2 3525	. . . . 5
25		tfindsg.4	. . . . 5
26	24, 25	imbi12d 320	. . . 4
27	26	imbi2d 316	. . 3
28		tfindsg.5	. . . 4
29	28	a1d 25	. . 3
30		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . 14
31	30	sucex 6646	. . . . . . . . . . . . 13
32	31	eqvinc 3226	. . . . . . . . . . . 12
33	28, 4	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . 14
34	21	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . 14
35	33, 34	sylan9r 658	. . . . . . . . . . . . 13
36	35	exlimiv 1722	. . . . . . . . . . . 12
37	32, 36	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11
38	37	eqcoms 2469	. . . . . . . . . 10
39	38	imim2i 14	. . . . . . . . 9
40	39	a1d 25	. . . . . . . 8
41	40	com4r 86	. . . . . . 7
42	41	adantl 466	. . . . . 6
43		df-ne 2654	. . . . . . . . 9
44	43	anbi2i 694	. . . . . . . 8
45		annim 425	. . . . . . . 8
46	44, 45	bitri 249	. . . . . . 7
47		onsssuc 4970	. . . . . . . . . 10
48		suceloni 6648	. . . . . . . . . . 11
49		onelpss 4923	. . . . . . . . . . 11
50	48, 49	sylan2 474	. . . . . . . . . 10
51	47, 50	bitrd 253	. . . . . . . . 9
52	51	ancoms 453	. . . . . . . 8
53		tfindsg.6	. . . . . . . . . . . 12
54	53	ex 434	. . . . . . . . . . 11
55		ax-1 6	. . . . . . . . . . 11
56	54, 55	syl8 70	. . . . . . . . . 10
57	56	a2d 26	. . . . . . . . 9
58	57	com23 78	. . . . . . . 8
59	52, 58	sylbird 235	. . . . . . 7
60	46, 59	syl5bir 218	. . . . . 6
61	42, 60	pm2.61d 158	. . . . 5
62	61	ex 434	. . . 4
63	62	a2d 26	. . 3
64		pm2.27 39	. . . . . . . . 9
65	64	ralimdv 2867	. . . . . . . 8
66	65	ad2antlr 726	. . . . . . 7
67		tfindsg.7	. . . . . . 7
68	66, 67	syld 44	. . . . . 6
69	68	exp31 604	. . . . 5
70	69	com3l 81	. . . 4
71	70	com4t 85	. . 3
72	15, 19, 23, 27, 29, 63, 71	tfinds 6694	. 2
73	72	imp31 432	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  C_wss 3475  c0 3784  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885

This theorem is referenced by:  tfindsg2  6696  oaordi  7214  infensuc  7715  r1ordg  8217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889