Theorem tfisi 6693

Description: A transfinite induction scheme in "implicit" form where the induction is done on an object derived from the object of interest. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfisi.a
tfisi.b
tfisi.c
tfisi.d
tfisi.e
tfisi.f
tfisi.g

Assertion

Ref	Expression
tfisi

Distinct variable groups:   ,,   ,   ,S   ,   ,,   ,   ,   ,

Proof of Theorem tfisi

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3522	. 2
2		eqid 2457	. . . . 5
3		tfisi.a	. . . . . 6
4		tfisi.b	. . . . . . 7
5		eqeq2 2472	. . . . . . . . . . 11
6		sseq1 3524	. . . . . . . . . . . . 13
7	6	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . 12
8	7	imbi1d 317	. . . . . . . . . . 11
9	5, 8	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10
10	9	albidv 1713	. . . . . . . . 9
11		tfisi.f	. . . . . . . . . . . 12
12	11	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . 11
13		tfisi.d	. . . . . . . . . . . 12
14	13	imbi2d 316	. . . . . . . . . . 11
15	12, 14	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10
16	15	cbvalv 2023	. . . . . . . . 9
17	10, 16	syl6bb 261	. . . . . . . 8
18		eqeq2 2472	. . . . . . . . . 10
19		sseq1 3524	. . . . . . . . . . . 12
20	19	anbi2d 703	. . . . . . . . . . 11
21	20	imbi1d 317	. . . . . . . . . 10
22	18, 21	imbi12d 320	. . . . . . . . 9
23	22	albidv 1713	. . . . . . . 8
24		simp3l 1024	. . . . . . . . . . . 12
25		simp2 997	. . . . . . . . . . . . 13
26		simp1l 1020	. . . . . . . . . . . . 13
27	25, 26	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . . 12
28		simp3r 1025	. . . . . . . . . . . . 13
29	25, 28	eqsstrd 3537	. . . . . . . . . . . 12
30		simpl3l 1051	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31		simpl1l 1047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
32		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33		simpl2 1000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
34	32, 33	eleqtrd 2547	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
35		onelss 4925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
36	31, 34, 35	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
37		simpl3r 1052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
38	36, 37	sstrd 3513	. . . . . . . . . . . . . . . 16
39		simpl1r 1048	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
40		eqeq2 2472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
41		sseq1 3524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
42	41	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
43	42	imbi1d 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
44	40, 43	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
45	44	albidv 1713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
46	45	rspcva 3208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
47	34, 39, 46	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
48		eqidd 2458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
49		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
50		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
51	49, 50, 11	csbhypf 3453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
52	51	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
53	52	equcoms 1795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
54	53	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
55		nfv 1707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
56	55, 13	sbhypf 3156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
57	56	bicomd 201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
58	57	equcoms 1795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
59	58	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
60	54, 59	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61	60	spv 2011	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
62	47, 48, 61	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . 16
63	30, 38, 62	mp2and 679	. . . . . . . . . . . . . . 15
64	63	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14
65	64	alrimiv 1719	. . . . . . . . . . . . 13
66	51	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	66, 56	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . 14
68	67	cbvalv 2023	. . . . . . . . . . . . 13
69	65, 68	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12
70		tfisi.c	. . . . . . . . . . . 12
71	24, 27, 29, 69, 70	syl121anc 1233	. . . . . . . . . . 11
72	71	3exp 1195	. . . . . . . . . 10
73	72	alrimiv 1719	. . . . . . . . 9
74	73	ex 434	. . . . . . . 8
75	17, 23, 74	tfis3 6692	. . . . . . 7
76	4, 75	syl 16	. . . . . 6
77		tfisi.g	. . . . . . . . 9
78	77	eqeq1d 2459	. . . . . . . 8
79		tfisi.e	. . . . . . . . 9
80	79	imbi2d 316	. . . . . . . 8
81	78, 80	imbi12d 320	. . . . . . 7
82	81	spcgv 3194	. . . . . 6
83	3, 76, 82	sylc 60	. . . . 5
84	2, 83	mpi 17	. . . 4
85	84	expd 436	. . 3
86	85	pm2.43i 47	. 2
87	1, 86	mpi 17	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  [wsb 1739  e.wcel 1818  A.wral 2807  [_csb 3434  C_wss 3475  con0 4883

This theorem is referenced by:  indcardi  8443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887