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Theorem tfisi 6693
Description: A transfinite induction scheme in "implicit" form where the induction is done on an object derived from the object of interest. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tfisi.a
tfisi.b
tfisi.c
tfisi.d
tfisi.e
tfisi.f
tfisi.g
Assertion
Ref Expression
tfisi
Distinct variable groups:   , ,   ,   ,S   ,   , ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem tfisi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3522 . 2
2 eqid 2457 . . . . 5
3 tfisi.a . . . . . 6
4 tfisi.b . . . . . . 7
5 eqeq2 2472 . . . . . . . . . . 11
6 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . . 13
76anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12
87imbi1d 317 . . . . . . . . . . 11
95, 8imbi12d 320 . . . . . . . . . 10
109albidv 1713 . . . . . . . . 9
11 tfisi.f . . . . . . . . . . . 12
1211eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11
13 tfisi.d . . . . . . . . . . . 12
1413imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11
1512, 14imbi12d 320 . . . . . . . . . 10
1615cbvalv 2023 . . . . . . . . 9
1710, 16syl6bb 261 . . . . . . . 8
18 eqeq2 2472 . . . . . . . . . 10
19 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . 12
2019anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11
2120imbi1d 317 . . . . . . . . . 10
2218, 21imbi12d 320 . . . . . . . . 9
2322albidv 1713 . . . . . . . 8
24 simp3l 1024 . . . . . . . . . . . 12
25 simp2 997 . . . . . . . . . . . . 13
26 simp1l 1020 . . . . . . . . . . . . 13
2725, 26eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . 12
28 simp3r 1025 . . . . . . . . . . . . 13
2925, 28eqsstrd 3537 . . . . . . . . . . . 12
30 simpl3l 1051 . . . . . . . . . . . . . . . 16
31 simpl1l 1047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
32 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3432, 33eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
35 onelss 4925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3631, 34, 35sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
37 simpl3r 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3836, 37sstrd 3513 . . . . . . . . . . . . . . . 16
39 simpl1r 1048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
40 eqeq2 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
41 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4241anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4342imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4440, 43imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4544albidv 1713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4645rspcva 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4734, 39, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
48 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
49 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
50 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5149, 50, 11csbhypf 3453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5251eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5352equcoms 1795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5453eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
55 nfv 1707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5655, 13sbhypf 3156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5756bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5857equcoms 1795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5958imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6054, 59imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6160spv 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6247, 48, 61sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6330, 38, 62mp2and 679 . . . . . . . . . . . . . . 15
6463ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14
6564alrimiv 1719 . . . . . . . . . . . . 13
6651eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766, 56imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14
6867cbvalv 2023 . . . . . . . . . . . . 13
6965, 68sylib 196 . . . . . . . . . . . 12
70 tfisi.c . . . . . . . . . . . 12
7124, 27, 29, 69, 70syl121anc 1233 . . . . . . . . . . 11
72713exp 1195 . . . . . . . . . 10
7372alrimiv 1719 . . . . . . . . 9
7473ex 434 . . . . . . . 8
7517, 23, 74tfis3 6692 . . . . . . 7
764, 75syl 16 . . . . . 6
77 tfisi.g . . . . . . . . 9
7877eqeq1d 2459 . . . . . . . 8
79 tfisi.e . . . . . . . . 9
8079imbi2d 316 . . . . . . . 8
8178, 80imbi12d 320 . . . . . . 7
8281spcgv 3194 . . . . . 6
833, 76, 82sylc 60 . . . . 5
842, 83mpi 17 . . . 4
8584expd 436 . . 3
8685pm2.43i 47 . 2
871, 86mpi 17 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  [wsb 1739  e.wcel 1818  A.wral 2807  [_csb 3434  C_wss 3475   con0 4883
This theorem is referenced by:  indcardi  8443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887
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