Theorem tfr2b 7084

Description: Without assuming ax-rep 4563, we can show that all proper initial subsets of recs are sets, while nothing larger is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tfr.1

Assertion

Ref	Expression
tfr2b

Proof of Theorem tfr2b

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordeleqon 6624	. 2
2		eqid 2457	. . . . 5
3	2	tfrlem15 7080	. . . 4
4		tfr.1	. . . . . 6
5	4	dmeqi 5209	. . . . 5
6	5	eleq2i 2535	. . . 4
7	4	reseq1i 5274	. . . . 5
8	7	eleq1i 2534	. . . 4
9	3, 6, 8	3bitr4g 288	. . 3
10		onprc 6620	. . . . . 6
11		elex 3118	. . . . . 6
12	10, 11	mto 176	. . . . 5
13		eleq1 2529	. . . . 5
14	12, 13	mtbiri 303	. . . 4
15	2	tfrlem13 7078	. . . . . 6
16	4	eleq1i 2534	. . . . . 6
17	15, 16	mtbir 299	. . . . 5
18		reseq2 5273	. . . . . . 7
19	4	tfr1a 7082	. . . . . . . . . 10
20	19	simpli 458	. . . . . . . . 9
21		funrel 5610	. . . . . . . . 9
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8
23	19	simpri 462	. . . . . . . . 9
24		limord 4942	. . . . . . . . 9
25		ordsson 6625	. . . . . . . . 9
26	23, 24, 25	mp2b 10	. . . . . . . 8
27		relssres 5316	. . . . . . . 8
28	22, 26, 27	mp2an 672	. . . . . . 7
29	18, 28	syl6eq 2514	. . . . . 6
30	29	eleq1d 2526	. . . . 5
31	17, 30	mtbiri 303	. . . 4
32	14, 31	2falsed 351	. . 3
33	9, 32	jaoi 379	. 2
34	1, 33	sylbi 195	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  C_wss 3475  Ordword 4882  con0 4883  Limwlim 4884  domcdm 5004  |`cres 5006  Relwrel 5009  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593  recscrecs 7060

This theorem is referenced by:  ordtypelem3  7966  ordtypelem9  7972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-recs 7061