MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tfr2b Unicode version

Theorem tfr2b 7084
Description: Without assuming ax-rep 4563, we can show that all proper initial subsets of recs are sets, while nothing larger is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tfr.1
Assertion
Ref Expression
tfr2b

Proof of Theorem tfr2b
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordeleqon 6624 . 2
2 eqid 2457 . . . . 5
32tfrlem15 7080 . . . 4
4 tfr.1 . . . . . 6
54dmeqi 5209 . . . . 5
65eleq2i 2535 . . . 4
74reseq1i 5274 . . . . 5
87eleq1i 2534 . . . 4
93, 6, 83bitr4g 288 . . 3
10 onprc 6620 . . . . . 6
11 elex 3118 . . . . . 6
1210, 11mto 176 . . . . 5
13 eleq1 2529 . . . . 5
1412, 13mtbiri 303 . . . 4
152tfrlem13 7078 . . . . . 6
164eleq1i 2534 . . . . . 6
1715, 16mtbir 299 . . . . 5
18 reseq2 5273 . . . . . . 7
194tfr1a 7082 . . . . . . . . . 10
2019simpli 458 . . . . . . . . 9
21 funrel 5610 . . . . . . . . 9
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8
2319simpri 462 . . . . . . . . 9
24 limord 4942 . . . . . . . . 9
25 ordsson 6625 . . . . . . . . 9
2623, 24, 25mp2b 10 . . . . . . . 8
27 relssres 5316 . . . . . . . 8
2822, 26, 27mp2an 672 . . . . . . 7
2918, 28syl6eq 2514 . . . . . 6
3029eleq1d 2526 . . . . 5
3117, 30mtbiri 303 . . . 4
3214, 312falsed 351 . . 3
339, 32jaoi 379 . 2
341, 33sylbi 195 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  domcdm 5004  |`cres 5006  Relwrel 5009  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593  recscrecs 7060
This theorem is referenced by:  ordtypelem3  7966  ordtypelem9  7972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-recs 7061
  Copyright terms: Public domain W3C validator