MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tfr3 Unicode version

Theorem tfr3 7087
Description: Principle of Transfinite Recursion, part 3 of 3. Theorem 7.41(3) of [TakeutiZaring] p. 47. Finally, we show that is unique. We do this by showing that any class with the same properties of that we showed in parts 1 and 2 is identical to . (Contributed by NM, 18-Aug-1994.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tfr.1
Assertion
Ref Expression
tfr3
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem tfr3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1707 . . . 4
2 nfra1 2838 . . . 4
31, 2nfan 1928 . . 3
4 nfv 1707 . . . . . 6
53, 4nfim 1920 . . . . 5
6 fveq2 5871 . . . . . . 7
7 fveq2 5871 . . . . . . 7
86, 7eqeq12d 2479 . . . . . 6
98imbi2d 316 . . . . 5
10 r19.21v 2862 . . . . . 6
11 rsp 2823 . . . . . . . . . 10
12 onss 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13 tfr.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1413tfr1 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
15 fvreseq 5989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1614, 15mpanl2 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
17 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1816, 17syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1912, 18sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2019ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2120imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
2313tfr2 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2423jctr 542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25 jcab 863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2624, 25sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
27 eqeq12 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2826, 27syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2928imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3029adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
3122, 30mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14
3231exp43 612 . . . . . . . . . . . . 13
3332com4t 85 . . . . . . . . . . . 12
3433exp4a 606 . . . . . . . . . . 11
3534pm2.43d 48 . . . . . . . . . 10
3611, 35syl 16 . . . . . . . . 9
3736com3l 81 . . . . . . . 8
3837impd 431 . . . . . . 7
3938a2d 26 . . . . . 6
4010, 39syl5bi 217 . . . . 5
415, 9, 40tfis2f 6690 . . . 4
4241com12 31 . . 3
433, 42ralrimi 2857 . 2
44 eqfnfv 5981 . . . 4
4514, 44mpan2 671 . . 3
4645biimpar 485 . 2
4743, 46syldan 470 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475   con0 4883  |`cres 5006  Fnwfn 5588  `cfv 5593  recscrecs 7060
This theorem is referenced by:  tfrALTlem  29362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-recs 7061
  Copyright terms: Public domain W3C validator