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Theorem tfrlem1 7064
Description: A technical lemma for transfinite recursion. Compare Lemma 1 of [TakeutiZaring] p. 47. (Contributed by NM, 23-Mar-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrlem1.1
tfrlem1.2
tfrlem1.3
tfrlem1.4
tfrlem1.5
Assertion
Ref Expression
tfrlem1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem tfrlem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3522 . 2
2 tfrlem1.1 . . 3
3 sseq1 3524 . . . . . 6
4 raleq 3054 . . . . . 6
53, 4imbi12d 320 . . . . 5
65imbi2d 316 . . . 4
7 sseq1 3524 . . . . . 6
8 raleq 3054 . . . . . 6
97, 8imbi12d 320 . . . . 5
109imbi2d 316 . . . 4
11 r19.21v 2862 . . . . 5
12 tfrlem1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1312ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1413simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15
15 funfn 5622 . . . . . . . . . . . . . . 15
1614, 15sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14
17 eloni 4893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1817ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
19 ordelss 4899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2018, 19sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
21 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2220, 21sstrd 3513 . . . . . . . . . . . . . . 15
2313simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15
2422, 23sstrd 3513 . . . . . . . . . . . . . 14
25 fnssres 5699 . . . . . . . . . . . . . 14
2616, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
27 tfrlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2827ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2928simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15
30 funfn 5622 . . . . . . . . . . . . . . 15
3129, 30sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14
3228simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15
3322, 32sstrd 3513 . . . . . . . . . . . . . 14
34 fnssres 5699 . . . . . . . . . . . . . 14
3531, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
36 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
37 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16
38 simp-4r 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3922adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
40 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
41 raleq 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4240, 41imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4342rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4437, 38, 39, 43syl3c 61 . . . . . . . . . . . . . . 15
45 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
46 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4745, 46eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4847rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . 15
4936, 44, 48sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14
50 fvres 5885 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
52 fvres 5885 . . . . . . . . . . . . . . 15
5352adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
5449, 51, 533eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . 13
5526, 35, 54eqfnfvd 5984 . . . . . . . . . . . 12
5655fveq2d 5875 . . . . . . . . . . 11
57 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
5857sselda 3503 . . . . . . . . . . . 12
59 tfrlem1.4 . . . . . . . . . . . . 13
6059ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12
61 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
62 reseq2 5273 . . . . . . . . . . . . . . 15
6362fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . 14
6461, 63eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . 13
6564rspcva 3208 . . . . . . . . . . . 12
6658, 60, 65syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
67 tfrlem1.5 . . . . . . . . . . . . 13
6867ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12
69 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
70 reseq2 5273 . . . . . . . . . . . . . . 15
7170fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . 14
7269, 71eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . 13
7372rspcva 3208 . . . . . . . . . . . 12
7458, 68, 73syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
7556, 66, 743eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10
7675ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9
7761, 69eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10
7877cbvralv 3084 . . . . . . . . 9
7976, 78sylibr 212 . . . . . . . 8
8079exp31 604 . . . . . . 7
8180expcom 435 . . . . . 6
8281a2d 26 . . . . 5
8311, 82syl5bi 217 . . . 4
846, 10, 83tfis3 6692 . . 3
852, 84mpcom 36 . 2
861, 85mpi 17 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475  Ordword 4882   con0 4883  domcdm 5004  |`cres 5006  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593
This theorem is referenced by:  tfrlem5  7068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601
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