MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tfrlem11 Unicode version

Theorem tfrlem11 7076
Description: Lemma for transfinite recursion. Compute the value of . (Contributed by NM, 18-Aug-1994.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrlem.1
tfrlem.3
Assertion
Ref Expression
tfrlem11
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,   , , ,

Proof of Theorem tfrlem11
StepHypRef Expression
1 elsuci 4949 . 2
2 tfrlem.1 . . . . . . . . 9
3 tfrlem.3 . . . . . . . . 9
42, 3tfrlem10 7075 . . . . . . . 8
5 fnfun 5683 . . . . . . . 8
64, 5syl 16 . . . . . . 7
7 ssun1 3666 . . . . . . . . 9
87, 3sseqtr4i 3536 . . . . . . . 8
92tfrlem9 7073 . . . . . . . . 9
10 funssfv 5886 . . . . . . . . . . . 12
11103expa 1196 . . . . . . . . . . 11
1211adantrl 715 . . . . . . . . . 10
13 onelss 4925 . . . . . . . . . . . 12
1413imp 429 . . . . . . . . . . 11
15 fun2ssres 5634 . . . . . . . . . . . . 13
16153expa 1196 . . . . . . . . . . . 12
1716fveq2d 5875 . . . . . . . . . . 11
1814, 17sylan2 474 . . . . . . . . . 10
1912, 18eqeq12d 2479 . . . . . . . . 9
209, 19syl5ibr 221 . . . . . . . 8
218, 20mpanl2 681 . . . . . . 7
226, 21sylan 471 . . . . . 6
2322exp32 605 . . . . 5
2423pm2.43i 47 . . . 4
2524pm2.43d 48 . . 3
26 opex 4716 . . . . . . . . 9
2726snid 4057 . . . . . . . 8
28 opeq1 4217 . . . . . . . . . . 11
2928adantl 466 . . . . . . . . . 10
30 eqimss 3555 . . . . . . . . . . . . . 14
318, 15mp3an2 1312 . . . . . . . . . . . . . 14
326, 30, 31syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13
33 reseq2 5273 . . . . . . . . . . . . . . 15
342tfrlem6 7070 . . . . . . . . . . . . . . . 16
35 resdm 5320 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15
3733, 36syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . 14
3837adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
3932, 38eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12
4039fveq2d 5875 . . . . . . . . . . 11
4140opeq2d 4224 . . . . . . . . . 10
4229, 41eqtrd 2498 . . . . . . . . 9
4342sneqd 4041 . . . . . . . 8
4427, 43syl5eleq 2551 . . . . . . 7
45 elun2 3671 . . . . . . 7
4644, 45syl 16 . . . . . 6
4746, 3syl6eleqr 2556 . . . . 5
484adantr 465 . . . . . 6
49 simpr 461 . . . . . . 7
50 sucidg 4961 . . . . . . . 8
5150adantr 465 . . . . . . 7
5249, 51eqeltrd 2545 . . . . . 6
53 fnopfvb 5914 . . . . . 6
5448, 52, 53syl2anc 661 . . . . 5
5547, 54mpbird 232 . . . 4
5655ex 434 . . 3
5725, 56jaod 380 . 2
581, 57syl5 32 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808  u.cun 3473  C_wss 3475  {csn 4029  <.cop 4035   con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  |`cres 5006  Relwrel 5009  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593  recscrecs 7060
This theorem is referenced by:  tfrlem12  7077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601  df-recs 7061
  Copyright terms: Public domain W3C validator