Theorem tfrlem14 7079

Description: Lemma for transfinite recursion. Assuming ax-rep 4563, domrecse.<->recse., so since domrecs is an ordinal, it must be equal to . (Contributed by NM, 14-Aug-1994.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tfrlem.1

Assertion

Ref	Expression
tfrlem14

Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem tfrlem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrlem.1	. . . 4
2	1	tfrlem13 7078	. . 3
3	1	tfrlem7 7071	. . . 4
4		funex 6140	. . . 4
5	3, 4	mpan 670	. . 3
6	2, 5	mto 176	. 2
7	1	tfrlem8 7072	. . 3
8		ordeleqon 6624	. . 3
9	7, 8	mpbi 208	. 2
10	6, 9	mtpor 1603	1

Syntax hints:  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  Ordword 4882  con0 4883  domcdm 5004  |`cres 5006  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593  recscrecs 7060

This theorem is referenced by:  tfr1  7085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-recs 7061