Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tfrlem15 Unicode version

Theorem tfrlem15 7080
 Description: Lemma for transfinite recursion. Without assuming ax-rep 4563, we can show that all proper initial subsets of recs are sets, while nothing larger is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
tfrlem.1
Assertion
Ref Expression
tfrlem15
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,

Proof of Theorem tfrlem15
StepHypRef Expression
1 tfrlem.1 . . . 4
21tfrlem9a 7074 . . 3
41tfrlem13 7078 . . . 4
5 simpr 461 . . . . 5
6 resss 5302 . . . . . . . 8
76a1i 11 . . . . . . 7
81tfrlem6 7070 . . . . . . . . 9
9 resdm 5320 . . . . . . . . 9
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8
11 ssres2 5305 . . . . . . . 8
1210, 11syl5eqssr 3548 . . . . . . 7
137, 12eqssd 3520 . . . . . 6
1413eleq1d 2526 . . . . 5
155, 14syl5ibcom 220 . . . 4
164, 15mtoi 178 . . 3
171tfrlem8 7072 . . . 4
18 eloni 4893 . . . . 5
1918adantr 465 . . . 4
20 ordtri1 4916 . . . . 5
2120con2bid 329 . . . 4
2217, 19, 21sylancr 663 . . 3
2316, 22mpbird 232 . 2
243, 23impbida 832 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475  Ordword 4882   con0 4883  domcdm 5004  |cres 5006  Relwrel 5009  Fnwfn 5588  cfv 5593  recscrecs 7060 This theorem is referenced by:  tfrlem16  7081  tfr2b  7084 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601  df-recs 7061
 Copyright terms: Public domain W3C validator