MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tfrlem16 Unicode version

Theorem tfrlem16 7081
Description: Lemma for finite recursion. Without assuming ax-rep 4563, we can show that the domain of the constructed function is a limit ordinal, and hence contains all the finite ordinals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
tfrlem.1
Assertion
Ref Expression
tfrlem16
Distinct variable group:   , , ,

Proof of Theorem tfrlem16
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfrlem.1 . . . 4
21tfrlem8 7072 . . 3
3 ordzsl 6680 . . 3
42, 3mpbi 208 . 2
5 res0 5283 . . . . . . 7
6 0ex 4582 . . . . . . 7
75, 6eqeltri 2541 . . . . . 6
8 0elon 4936 . . . . . . 7
91tfrlem15 7080 . . . . . . 7
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6
117, 10mpbir 209 . . . . 5
12 n0i 3789 . . . . 5
1311, 12ax-mp 5 . . . 4
1413pm2.21i 131 . . 3
151tfrlem13 7078 . . . . 5
16 simpr 461 . . . . . . . . . 10
17 df-suc 4889 . . . . . . . . . 10
1816, 17syl6eq 2514 . . . . . . . . 9
1918reseq2d 5278 . . . . . . . 8
201tfrlem6 7070 . . . . . . . . 9
21 resdm 5320 . . . . . . . . 9
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8
23 resundi 5292 . . . . . . . 8
2419, 22, 233eqtr3g 2521 . . . . . . 7
25 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
2625sucid 4962 . . . . . . . . . 10
2726, 16syl5eleqr 2552 . . . . . . . . 9
281tfrlem9a 7074 . . . . . . . . 9
2927, 28syl 16 . . . . . . . 8
30 snex 4693 . . . . . . . . 9
311tfrlem7 7071 . . . . . . . . . 10
32 funressn 6084 . . . . . . . . . 10
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . 9
3430, 33ssexi 4597 . . . . . . . 8
35 unexg 6601 . . . . . . . 8
3629, 34, 35sylancl 662 . . . . . . 7
3724, 36eqeltrd 2545 . . . . . 6
3837rexlimiva 2945 . . . . 5
3915, 38mto 176 . . . 4
4039pm2.21i 131 . . 3
41 id 22 . . 3
4214, 40, 413jaoi 1291 . 2
434, 42ax-mp 5 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  <->wb 184  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  |`cres 5006  Relwrel 5009  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593  recscrecs 7060
This theorem is referenced by:  tfr1a  7082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-recs 7061
  Copyright terms: Public domain W3C validator