Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tfrlem5 Unicode version

Theorem tfrlem5 7068
 Description: Lemma for transfinite recursion. The values of two acceptable functions are the same within their domains. (Contributed by NM, 9-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
tfrlem.1
Assertion
Ref Expression
tfrlem5
Distinct variable groups:   ,,,,,,,   ,,

Proof of Theorem tfrlem5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfrlem.1 . . 3
2 vex 3112 . . 3
31, 2tfrlem3a 7065 . 2
4 vex 3112 . . 3
51, 4tfrlem3a 7065 . 2
6 reeanv 3025 . . 3
7 simp2ll 1063 . . . . . . . . 9
8 simp3l 1024 . . . . . . . . 9
9 fnbr 5688 . . . . . . . . 9
107, 8, 9syl2anc 661 . . . . . . . 8
11 simp2rl 1065 . . . . . . . . 9
12 simp3r 1025 . . . . . . . . 9
13 fnbr 5688 . . . . . . . . 9
1411, 12, 13syl2anc 661 . . . . . . . 8
1510, 14elind 3687 . . . . . . 7
16 onin 4914 . . . . . . . . 9
17163ad2ant1 1017 . . . . . . . 8
18 fnfun 5683 . . . . . . . . . 10
197, 18syl 16 . . . . . . . . 9
20 inss1 3717 . . . . . . . . . 10
21 fndm 5685 . . . . . . . . . . 11
227, 21syl 16 . . . . . . . . . 10
2320, 22syl5sseqr 3552 . . . . . . . . 9
2419, 23jca 532 . . . . . . . 8
25 fnfun 5683 . . . . . . . . . 10
2611, 25syl 16 . . . . . . . . 9
27 inss2 3718 . . . . . . . . . 10
28 fndm 5685 . . . . . . . . . . 11
2911, 28syl 16 . . . . . . . . . 10
3027, 29syl5sseqr 3552 . . . . . . . . 9
3126, 30jca 532 . . . . . . . 8
32 simp2lr 1064 . . . . . . . . 9
33 ssralv 3563 . . . . . . . . 9
3420, 32, 33mpsyl 63 . . . . . . . 8
35 simp2rr 1066 . . . . . . . . 9
36 ssralv 3563 . . . . . . . . 9
3727, 35, 36mpsyl 63 . . . . . . . 8
3817, 24, 31, 34, 37tfrlem1 7064 . . . . . . 7
39 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
40 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
4139, 40eqeq12d 2479 . . . . . . . 8
4241rspcv 3206 . . . . . . 7
4315, 38, 42sylc 60 . . . . . 6
44 funbrfv 5911 . . . . . . 7
4519, 8, 44sylc 60 . . . . . 6
46 funbrfv 5911 . . . . . . 7
4726, 12, 46sylc 60 . . . . . 6
4843, 45, 473eqtr3d 2506 . . . . 5
49483exp 1195 . . . 4
5049rexlimivv 2954 . . 3
516, 50sylbir 213 . 2
523, 5, 51syl2anb 479 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808  i^icin 3474  C_wss 3475   class class class wbr 4452   con0 4883  domcdm 5004  |cres 5006  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  cfv 5593 This theorem is referenced by:  tfrlem7  7071 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601
 Copyright terms: Public domain W3C validator