Theorem tfrlem5 7068

Description: Lemma for transfinite recursion. The values of two acceptable functions are the same within their domains. (Contributed by NM, 9-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
tfrlem.1

Assertion

Ref	Expression
tfrlem5

Distinct variable groups:   ,,,,,,,   ,,

Proof of Theorem tfrlem5

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrlem.1	. . 3
2		vex 3112	. . 3
3	1, 2	tfrlem3a 7065	. 2
4		vex 3112	. . 3
5	1, 4	tfrlem3a 7065	. 2
6		reeanv 3025	. . 3
7		simp2ll 1063	. . . . . . . . 9
8		simp3l 1024	. . . . . . . . 9
9		fnbr 5688	. . . . . . . . 9
10	7, 8, 9	syl2anc 661	. . . . . . . 8
11		simp2rl 1065	. . . . . . . . 9
12		simp3r 1025	. . . . . . . . 9
13		fnbr 5688	. . . . . . . . 9
14	11, 12, 13	syl2anc 661	. . . . . . . 8
15	10, 14	elind 3687	. . . . . . 7
16		onin 4914	. . . . . . . . 9
17	16	3ad2ant1 1017	. . . . . . . 8
18		fnfun 5683	. . . . . . . . . 10
19	7, 18	syl 16	. . . . . . . . 9
20		inss1 3717	. . . . . . . . . 10
21		fndm 5685	. . . . . . . . . . 11
22	7, 21	syl 16	. . . . . . . . . 10
23	20, 22	syl5sseqr 3552	. . . . . . . . 9
24	19, 23	jca 532	. . . . . . . 8
25		fnfun 5683	. . . . . . . . . 10
26	11, 25	syl 16	. . . . . . . . 9
27		inss2 3718	. . . . . . . . . 10
28		fndm 5685	. . . . . . . . . . 11
29	11, 28	syl 16	. . . . . . . . . 10
30	27, 29	syl5sseqr 3552	. . . . . . . . 9
31	26, 30	jca 532	. . . . . . . 8
32		simp2lr 1064	. . . . . . . . 9
33		ssralv 3563	. . . . . . . . 9
34	20, 32, 33	mpsyl 63	. . . . . . . 8
35		simp2rr 1066	. . . . . . . . 9
36		ssralv 3563	. . . . . . . . 9
37	27, 35, 36	mpsyl 63	. . . . . . . 8
38	17, 24, 31, 34, 37	tfrlem1 7064	. . . . . . 7
39		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
40		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
41	39, 40	eqeq12d 2479	. . . . . . . 8
42	41	rspcv 3206	. . . . . . 7
43	15, 38, 42	sylc 60	. . . . . 6
44		funbrfv 5911	. . . . . . 7
45	19, 8, 44	sylc 60	. . . . . 6
46		funbrfv 5911	. . . . . . 7
47	26, 12, 46	sylc 60	. . . . . 6
48	43, 45, 47	3eqtr3d 2506	. . . . 5
49	48	3exp 1195	. . . 4
50	49	rexlimivv 2954	. . 3
51	6, 50	sylbir 213	. 2
52	3, 5, 51	syl2anb 479	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808  i^icin 3474  C_wss 3475   class class class wbr 4452  con0 4883  domcdm 5004  |`cres 5006  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593

This theorem is referenced by:  tfrlem7  7071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601