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Theorem tfrlem9 7073
Description: Lemma for transfinite recursion. Here we compute the value of recs (the union of all acceptable functions). (Contributed by NM, 17-Aug-1994.)
Hypothesis
Ref Expression
tfrlem.1
Assertion
Ref Expression
tfrlem9
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,

Proof of Theorem tfrlem9
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldm2g 5204 . . 3
21ibi 241 . 2
3 df-recs 7061 . . . . . 6
43eleq2i 2535 . . . . 5
5 eluniab 4260 . . . . 5
64, 5bitri 249 . . . 4
7 fnop 5689 . . . . . . . . . . . . . 14
8 rspe 2915 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9 tfrlem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109abeq2i 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11 elssuni 4279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
129recsfval 7069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1311, 12syl6sseqr 3550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1410, 13sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . 16
158, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
16 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
17 reseq2 5273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1817fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1916, 18eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2019rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21 fndm 5685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2221eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
239tfrlem7 7071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
24 funssfv 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2523, 24mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2625adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2721eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
28 onelss 4925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2927, 28syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3029imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
31 fun2ssres 5634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3231fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3323, 32mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3430, 33sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3526, 34eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3635exbiri 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3736com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3837exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3938com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4039com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4122, 40sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4241com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4320, 42syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4443com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4544imp4d 592 . . . . . . . . . . . . . . 15
4615, 45mpdi 42 . . . . . . . . . . . . . 14
477, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
4847exp4d 609 . . . . . . . . . . . 12
4948ex 434 . . . . . . . . . . 11
5049com4r 86 . . . . . . . . . 10
5150pm2.43i 47 . . . . . . . . 9
5251com3l 81 . . . . . . . 8
5352imp4a 589 . . . . . . 7
5453rexlimdv 2947 . . . . . 6
5554imp 429 . . . . 5
5655exlimiv 1722 . . . 4
576, 56sylbi 195 . . 3
5857exlimiv 1722 . 2
592, 58syl 16 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  <.cop 4035  U.cuni 4249   con0 4883  domcdm 5004  |`cres 5006  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593  recscrecs 7060
This theorem is referenced by:  tfrlem11  7076  tfr2a  7083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601  df-recs 7061
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