Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tfrlem9a Unicode version

Theorem tfrlem9a 7074
 Description: Lemma for transfinite recursion. Without using ax-rep 4563, show that all the restrictions of recs are sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
tfrlem.1
Assertion
Ref Expression
tfrlem9a
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,

Proof of Theorem tfrlem9a
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfrlem.1 . . . . 5
21tfrlem7 7071 . . . 4
3 funfvop 5999 . . . 4
42, 3mpan 670 . . 3
51recsfval 7069 . . . . 5
65eleq2i 2535 . . . 4
7 eluni 4252 . . . 4
86, 7bitri 249 . . 3
94, 8sylib 196 . 2
10 simprr 757 . . . 4
11 vex 3112 . . . . 5
121, 11tfrlem3a 7065 . . . 4
1310, 12sylib 196 . . 3
142a1i 11 . . . . . . . 8
15 simplrr 762 . . . . . . . . . 10
16 elssuni 4279 . . . . . . . . . 10
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9
1817, 5syl6sseqr 3550 . . . . . . . 8
19 fndm 5685 . . . . . . . . . . . 12
2019ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11
21 simprl 756 . . . . . . . . . . 11
2220, 21eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10
23 eloni 4893 . . . . . . . . . 10
2422, 23syl 16 . . . . . . . . 9
25 simpll 753 . . . . . . . . . 10
26 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10
28 simplrl 761 . . . . . . . . . . 11
29 df-br 4453 . . . . . . . . . . 11
3028, 29sylibr 212 . . . . . . . . . 10
31 breldmg 5213 . . . . . . . . . 10
3225, 27, 30, 31syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
33 ordelss 4899 . . . . . . . . 9
3424, 32, 33syl2anc 661 . . . . . . . 8
35 fun2ssres 5634 . . . . . . . 8
3614, 18, 34, 35syl3anc 1228 . . . . . . 7
3711resex 5322 . . . . . . . 8
3837a1i 11 . . . . . . 7
3936, 38eqeltrd 2545 . . . . . 6
4039expr 615 . . . . 5
4140adantrd 468 . . . 4
4241rexlimdva 2949 . . 3
4313, 42mpd 15 . 2
449, 43exlimddv 1726 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475  <.cop 4035  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  Ordword 4882   con0 4883  domcdm 5004  |cres 5006  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  cfv 5593  recscrecs 7060 This theorem is referenced by:  tfrlem15  7080  tfrlem16  7081  rdgseg  7107 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601  df-recs 7061
 Copyright terms: Public domain W3C validator