Theorem tfrlem9a 7074

Description: Lemma for transfinite recursion. Without using ax-rep 4563, show that all the restrictions of recs are sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
tfrlem.1

Assertion

Ref	Expression
tfrlem9a

Distinct variable groups:   ,,,   ,,,

Proof of Theorem tfrlem9a

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrlem.1	. . . . 5
2	1	tfrlem7 7071	. . . 4
3		funfvop 5999	. . . 4
4	2, 3	mpan 670	. . 3
5	1	recsfval 7069	. . . . 5
6	5	eleq2i 2535	. . . 4
7		eluni 4252	. . . 4
8	6, 7	bitri 249	. . 3
9	4, 8	sylib 196	. 2
10		simprr 757	. . . 4
11		vex 3112	. . . . 5
12	1, 11	tfrlem3a 7065	. . . 4
13	10, 12	sylib 196	. . 3
14	2	a1i 11	. . . . . . . 8
15		simplrr 762	. . . . . . . . . 10
16		elssuni 4279	. . . . . . . . . 10
17	15, 16	syl 16	. . . . . . . . 9
18	17, 5	syl6sseqr 3550	. . . . . . . 8
19		fndm 5685	. . . . . . . . . . . 12
20	19	ad2antll 728	. . . . . . . . . . 11
21		simprl 756	. . . . . . . . . . 11
22	20, 21	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . 10
23		eloni 4893	. . . . . . . . . 10
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . . 9
25		simpll 753	. . . . . . . . . 10
26		fvex 5881	. . . . . . . . . . 11
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10
28		simplrl 761	. . . . . . . . . . 11
29		df-br 4453	. . . . . . . . . . 11
30	28, 29	sylibr 212	. . . . . . . . . 10
31		breldmg 5213	. . . . . . . . . 10
32	25, 27, 30, 31	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9
33		ordelss 4899	. . . . . . . . 9
34	24, 32, 33	syl2anc 661	. . . . . . . 8
35		fun2ssres 5634	. . . . . . . 8
36	14, 18, 34, 35	syl3anc 1228	. . . . . . 7
37	11	resex 5322	. . . . . . . 8
38	37	a1i 11	. . . . . . 7
39	36, 38	eqeltrd 2545	. . . . . 6
40	39	expr 615	. . . . 5
41	40	adantrd 468	. . . 4
42	41	rexlimdva 2949	. . 3
43	13, 42	mpd 15	. 2
44	9, 43	exlimddv 1726	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  C_wss 3475  <.cop 4035  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  Ordword 4882  con0 4883  domcdm 5004  |`cres 5006  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593  recscrecs 7060

This theorem is referenced by:  tfrlem15  7080  tfrlem16  7081  rdgseg  7107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601  df-recs 7061