MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thlle Unicode version

Theorem thlle 18315
Description: Ordering on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k
thlbas.c
thlle.i
thlle.l
Assertion
Ref Expression
thlle

Proof of Theorem thlle
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 thlval.k . . . . 5
2 thlbas.c . . . . 5
3 thlle.i . . . . 5
4 eqid 2454 . . . . 5
51, 2, 3, 4thlval 18313 . . . 4
65fveq2d 5817 . . 3
7 thlle.l . . . 4
8 pleid 14492 . . . . 5
9 10re 10548 . . . . . . 7
10 dec10 10924 . . . . . . . 8
11 1nn0 10733 . . . . . . . . 9
12 0nn0 10732 . . . . . . . . 9
13 1nn 10471 . . . . . . . . 9
14 0lt1 9999 . . . . . . . . 9
1511, 12, 13, 14declt 10915 . . . . . . . 8
1610, 15eqbrtri 4428 . . . . . . 7
179, 16ltneii 9624 . . . . . 6
18 plendx 14491 . . . . . . 7
19 ocndx 14498 . . . . . . 7
2018, 19neeq12i 2742 . . . . . 6
2117, 20mpbir 209 . . . . 5
228, 21setsnid 14374 . . . 4
237, 22eqtri 2483 . . 3
246, 23syl6reqr 2514 . 2
258str0 14370 . . 3
26 fvex 5823 . . . . . . 7
272, 26eqeltri 2538 . . . . . 6
283ipolerval 15485 . . . . . 6
2927, 28ax-mp 5 . . . . 5
307, 29eqtr4i 2486 . . . 4
31 opabn0 4736 . . . . . 6
32 vex 3084 . . . . . . . . 9
33 vex 3084 . . . . . . . . 9
3432, 33prss 4144 . . . . . . . 8
35 elfvex 5840 . . . . . . . . . 10
3635, 2eleq2s 2562 . . . . . . . . 9
3736ad2antrr 725 . . . . . . . 8
3834, 37sylanbr 473 . . . . . . 7
3938exlimivv 1690 . . . . . 6
4031, 39sylbi 195 . . . . 5
4140necon1bi 2686 . . . 4
4230, 41syl5eq 2507 . . 3
43 fvprc 5807 . . . . 5
441, 43syl5eq 2507 . . . 4
4544fveq2d 5817 . . 3
4625, 42, 453eqtr4a 2521 . 2
4724, 46pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  /\wa 369  =wceq 1370  E.wex 1587  e.wcel 1758  =/=wne 2648   cvv 3081  C_wss 3442   c0 3751  {cpr 3995  <.cop 3999  {copab 4466  `cfv 5537  (class class class)co 6222  0cc0 9419  1c1 9420   clt 9555   c10 10517  ;cdc 10894   cnx 14329   csts 14330   cple 14404   coc 14405   cipo 15480   cocv 18278   ccss 18279   cthl 18280
This theorem is referenced by:  thlleval  18316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-oadd 7058  df-er 7235  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-4 10520  df-5 10521  df-6 10522  df-7 10523  df-8 10524  df-9 10525  df-10 10526  df-n0 10718  df-z 10785  df-dec 10895  df-uz 11001  df-fz 11583  df-struct 14334  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-tset 14416  df-ple 14417  df-ocomp 14418  df-ipo 15481  df-thl 18283
  Copyright terms: Public domain W3C validator