MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngnrg Unicode version

Theorem tngnrg 19955
Description: Given any absolute value over a ring, augmenting the ring with the absolute value produces a normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngnrg.t
tngnrg.a
Assertion
Ref Expression
tngnrg

Proof of Theorem tngnrg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngnrg.a . . . . 5
21abvrcl 16719 . . . 4
3 rnggrp 16478 . . . 4
42, 3syl 16 . . 3
5 tngnrg.t . . . . 5
6 eqid 2422 . . . . 5
75, 6tngds 19934 . . . 4
8 eqid 2422 . . . . 5
98, 1, 6abvmet 19868 . . . 4
107, 9eqeltrrd 2497 . . 3
111, 8abvf 16721 . . . 4
12 eqid 2422 . . . . 5
135, 8, 12tngngp2 19938 . . . 4
1411, 13syl 16 . . 3
154, 10, 14mpbir2and 898 . 2
16 reex 9319 . . . . . 6
175, 8, 16tngnm 19937 . . . . 5
184, 11, 17syl2anc 646 . . . 4
19 eqidd 2423 . . . . . 6
205, 8tngbas 19927 . . . . . 6
21 eqid 2422 . . . . . . . 8
225, 21tngplusg 19928 . . . . . . 7
2322proplem3 14569 . . . . . 6
24 eqid 2422 . . . . . . . 8
255, 24tngmulr 19930 . . . . . . 7
2625proplem3 14569 . . . . . 6
2719, 20, 23, 26abvpropd 16740 . . . . 5
281, 27syl5eq 2466 . . . 4
2918, 28eleq12d 2490 . . 3
3029ibi 235 . 2
31 eqid 2422 . . 3
32 eqid 2422 . . 3
3331, 32isnrg 19941 . 2
3415, 30, 33sylanbrc 649 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  o.ccom 4815  -->wf 5386  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cr 9227   cbs 14114   cplusg 14178   cmulr 14179   cds 14187   cgrp 15350   csg 15353   crg 16469   cabv 16714   cme 17512   cnm 19869   cngp 19870   ctng 19871   cnrg 19872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-er 7062  df-map 7177  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-sup 7638  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-uz 10807  df-q 10899  df-rp 10937  df-xneg 11034  df-xadd 11035  df-xmul 11036  df-ico 11251  df-seq 11748  df-exp 11807  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-tset 14197  df-ds 14200  df-rest 14301  df-topn 14302  df-0g 14320  df-topgen 14322  df-mnd 15355  df-grp 15482  df-minusg 15483  df-sbg 15484  df-mgp 16458  df-rng 16472  df-ur 16474  df-abv 16715  df-psmet 17519  df-xmet 17520  df-met 17521  df-bl 17522  df-mopn 17523  df-top 18207  df-bases 18209  df-topon 18210  df-topsp 18211  df-xms 19595  df-ms 19596  df-nm 19875  df-ngp 19876  df-tng 19877  df-nrg 19878
  Copyright terms: Public domain W3C validator