MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngnrg Unicode version

Theorem tngnrg 20654
Description: Given any absolute value over a ring, augmenting the ring with the absolute value produces a normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngnrg.t
tngnrg.a
Assertion
Ref Expression
tngnrg

Proof of Theorem tngnrg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngnrg.a . . . . 5
21abvrcl 17082 . . . 4
3 rnggrp 16826 . . . 4
42, 3syl 16 . . 3
5 tngnrg.t . . . . 5
6 eqid 2454 . . . . 5
75, 6tngds 20633 . . . 4
8 eqid 2454 . . . . 5
98, 1, 6abvmet 20567 . . . 4
107, 9eqeltrrd 2543 . . 3
111, 8abvf 17084 . . . 4
12 eqid 2454 . . . . 5
135, 8, 12tngngp2 20637 . . . 4
1411, 13syl 16 . . 3
154, 10, 14mpbir2and 913 . 2
16 reex 9510 . . . . . 6
175, 8, 16tngnm 20636 . . . . 5
184, 11, 17syl2anc 661 . . . 4
19 eqidd 2455 . . . . . 6
205, 8tngbas 20626 . . . . . 6
21 eqid 2454 . . . . . . . 8
225, 21tngplusg 20627 . . . . . . 7
2322proplem3 14788 . . . . . 6
24 eqid 2454 . . . . . . . 8
255, 24tngmulr 20629 . . . . . . 7
2625proplem3 14788 . . . . . 6
2719, 20, 23, 26abvpropd 17103 . . . . 5
281, 27syl5eq 2507 . . . 4
2918, 28eleq12d 2536 . . 3
3029ibi 241 . 2
31 eqid 2454 . . 3
32 eqid 2454 . . 3
3331, 32isnrg 20640 . 2
3415, 30, 33sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  o.ccom 4961  -->wf 5533  `cfv 5537  (class class class)co 6222   cr 9418   cbs 14332   cplusg 14397   cmulr 14398   cds 14406   cgrp 15569   csg 15572   crg 16821   cabv 17077   cme 17995   cnm 20568   cngp 20569   ctng 20570   cnrg 20571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-er 7235  df-map 7350  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-sup 7827  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-4 10520  df-5 10521  df-6 10522  df-7 10523  df-8 10524  df-9 10525  df-10 10526  df-n0 10718  df-z 10785  df-dec 10895  df-uz 11001  df-q 11093  df-rp 11131  df-xneg 11228  df-xadd 11229  df-xmul 11230  df-ico 11445  df-seq 11964  df-exp 12023  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-plusg 14410  df-mulr 14411  df-tset 14416  df-ds 14419  df-rest 14520  df-topn 14521  df-0g 14539  df-topgen 14541  df-mnd 15574  df-grp 15704  df-minusg 15705  df-sbg 15706  df-mgp 16767  df-ur 16779  df-rng 16823  df-abv 17078  df-psmet 18002  df-xmet 18003  df-met 18004  df-bl 18005  df-mopn 18006  df-top 18902  df-bases 18904  df-topon 18905  df-topsp 18906  df-xms 20294  df-ms 20295  df-nm 20574  df-ngp 20575  df-tng 20576  df-nrg 20577
  Copyright terms: Public domain W3C validator